Bir Eşitsizlik Üzerine

İ. Ferit Öktem

Bu yazımızda

\begin{equation}\label{1} P_n = \prod_{k=1}^n \Big( 1 – \frac{1}{2k}\Big) \hspace{2cm} (1)\end{equation}

çarpımının (Bkz. Matematik Dünyası C:1, S:1, A5)

\[\frac{1}{\sqrt{\pi(n + \frac{1}{2})}} < P_n < \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\hspace{2cm} (2)\]

eşitsizliğini sağladığını göstermek istiyoruz.

Önce

\[\prod_{k = 1}^n (2k -1) = (2n – 1)!!, \prod_{k=1}^n (2k) = (2n)!!\hspace{2cm} (3)\]

tanımlarını kullanarak

\[P_n = \frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!}\hspace{2cm} (4)\]

yazabiliriz. Şimdi, \(n\) negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere,

\[I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\, dx \hspace{2cm} (5)\]

integralini gözönüne alalım:

\[I_0 = \frac{\pi}{2},\,\, I_1 = 1,\,\, I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\,\,\,\, (n>1)\hspace{2cm} (6)\]

bağıntılarından $n\ge 1$ için

\[I_{2n – 1} = \frac{1}{2n}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}, \;\; I_{2n} = \frac{\pi}{2}\frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!},\]

\[I_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\hspace{2cm} (7)\]

olur. Öte yandan

\[ \sin^{2n +1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n -1}x \;\; (0 < x < \frac{\pi}{2}) \hspace{2cm} (8) \]

ve (5) ten dolayı

\[ I_{2n +1} < I_{2n}< I_{2n – 1} \hspace{2cm} (9)\]

eşitsizlikleri geçerlidir. Böylece (4), (7) ve (9) sonucu

\[ \frac{1}{(2n+1)P_n} < \frac{\pi}{2}P_n < \frac{1}{2nP_n}\hspace{2cm} (10) \]

bulunur. (10) un her yanını $\frac{2}{\pi}P_n$ ile çarptıktan sonra karekök alınırsa (2) eşitsizlikleri elde edilir.

Bu eşitsizliklerin bir sonucu olarak

\[ P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi(n+\theta_n)}},\;\; 0 < \theta_n < \frac{1}{2} \hspace{2cm} (11)\]

koşullarını sağlayan bir $\theta_n$ sayısının varlığı ve

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\hspace{2cm} (12)\]

bağıntısı (Wallis formülü) de ispatlanabilir.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 3. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar

Şirince Akşam Sofrası III : Dikdörtgenlere Parçalanmış Dikdörtgen

Yazar: Ali Nesin (anesin@nesinvakfi.org) Yıl: 2022-3 Sayı: 113 Soru. Bir dikdörtgen, şekildeki gibi sonlu sayıda küçük dikdörtgene parçalanıyor. Küçük dikdörtgenlerin her birinin her iki kenarından en az biri...

Olasılık öğretiminde farklı bir yaklaşım: İnanç ve frekans bakış açıları

Yazar: Sibel Kazak Yıl: 2022-3 Sayı:113 Olasılık kuramı, belirsizlik durumlarında öngörüde bulunmamıza ve rastlantısallıkları değerlendirirken akılcı düşünmemize yardımcı olur . Çeşitli bilim alanlarından günlük yaşantımıza belirsizliğin ve...

Sayı Saymalı Kombinatorik

Yazar: Kağan Kurşungöz Yıl: 2022-3 Sayı: 113 En genel anlamda kombinatorik sonlu yapılar üzerinde çalışır. Doğal sayılar, tamsayılar veya kesirler ilgi alanına girdiğindeyse, bir parametreye bağlı olarak...