Bir Eşitsizlik Üzerine

İ. Ferit Öktem

Bu yazımızda

\begin{equation}\label{1} P_n = \prod_{k=1}^n \Big( 1 – \frac{1}{2k}\Big) \hspace{2cm} (1)\end{equation}

çarpımının (Bkz. Matematik Dünyası C:1, S:1, A5)

\[\frac{1}{\sqrt{\pi(n + \frac{1}{2})}} < P_n < \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\hspace{2cm} (2)\]

eşitsizliğini sağladığını göstermek istiyoruz.

Önce

\[\prod_{k = 1}^n (2k -1) = (2n – 1)!!, \prod_{k=1}^n (2k) = (2n)!!\hspace{2cm} (3)\]

tanımlarını kullanarak

\[P_n = \frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!}\hspace{2cm} (4)\]

yazabiliriz. Şimdi, \(n\) negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere,

\[I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\, dx \hspace{2cm} (5)\]

integralini gözönüne alalım:

\[I_0 = \frac{\pi}{2},\,\, I_1 = 1,\,\, I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\,\,\,\, (n>1)\hspace{2cm} (6)\]

bağıntılarından $n\ge 1$ için

\[I_{2n – 1} = \frac{1}{2n}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}, \;\; I_{2n} = \frac{\pi}{2}\frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!},\]

\[I_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\hspace{2cm} (7)\]

olur. Öte yandan

\[ \sin^{2n +1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n -1}x \;\; (0 < x < \frac{\pi}{2}) \hspace{2cm} (8) \]

ve (5) ten dolayı

\[ I_{2n +1} < I_{2n}< I_{2n – 1} \hspace{2cm} (9)\]

eşitsizlikleri geçerlidir. Böylece (4), (7) ve (9) sonucu

\[ \frac{1}{(2n+1)P_n} < \frac{\pi}{2}P_n < \frac{1}{2nP_n}\hspace{2cm} (10) \]

bulunur. (10) un her yanını $\frac{2}{\pi}P_n$ ile çarptıktan sonra karekök alınırsa (2) eşitsizlikleri elde edilir.

Bu eşitsizliklerin bir sonucu olarak

\[ P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi(n+\theta_n)}},\;\; 0 < \theta_n < \frac{1}{2} \hspace{2cm} (11)\]

koşullarını sağlayan bir $\theta_n$ sayısının varlığı ve

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\hspace{2cm} (12)\]

bağıntısı (Wallis formülü) de ispatlanabilir.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 3. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar

Fonksiyon Dönüşümlerine Yapılandırmacılık Gözünden Bir Bakış

Yazar: Burçak Boz Yaman, Melike Yiğit Koyunkaya (burcak@mu.edu.tr, melike.koyunkaya@deu.edu.tr) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Nasıl matematik öğreniriz? Başka bir deyişle matematiksel bilgiyi nasıl inşa ederiz? Son yüzyıldır öğrenmeyi...

Galois Grupları

Yazar: Olcay Coşkun (olcaycoskun@gmail.com) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Galois teorisi matematiğin en temel ve en estetik teorilerinden birisidir. Galois'nın yaklaşımı problemlere bakış açımızda köklü bir değişiklik önererek...

Topolojik Uzayların Simetrileri

Yazar: Ergün Yalçın (yalcine@fen.bilkent.edu.tr) Yıl: 2022-2 Sayı: 112