Eisenstein Kriteri

Yıl: 1994-1

Yazar: Mefharet Alpseymen Kocatepe

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak veya çarpanlara ayrılmayacağını göstermek çoğunlukla zordur ve zaman alır. Bir polinomun ne zaman ayrılmayacağını söyleyen kriterlerin sayısı çok azdır. Bunlardan bir tanesi de ünlü Eisenstein kriteidir.

İsterseniz önce kısaca Eisenstein’dan söz edelim. Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 1823-1852 yıları arasında yaşamıştır. Sayılar teorisi, cebir ve eliptik fonksiyonlar üzerinde önemli çalışmalar yapmıştır. Şimdi sözünü edeceğimiz kriteri 1850 yılında bulmuştur.

Şimdi de notasyon ve terminolojiyi belirleyelim. $\mathbb{Z}[x]$ ile katsayıları $\mathbb{Z}$ kümesinde olan (yani tamsayılar olan) tüm polinomları gösterelim. Aynı şekilde $\mathbb{Q}[x]$ ile katsayıları rasyonel sayılar olan tüm polinomları gösterelim. Eğer $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ polinomu her birinin derecesi en az $1$ olan ve katsayıları tamsayı olan iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa $f(x)$ polinomu $\mathbb{Z}[x]$ içinde indirgenebilir, aksi halde indirgenemez denir. Aynı tanım $\mathbb{Q}[x]$ için de verilebilir. Ayrıca $\mathbb{Z}[x] \subset \mathbb{Q}[x]$ olduğundan $\mathbb{Z}[x]$ in bir elemanın $\mathbb{Q}[x]$ içinde indirgenebilir veya indirgenemez olmasından da söz edilebilir.

Teorom (Eisenstein Kriteri). $p$ verilen bir asal sayı,

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \in \mathbb{Z}[x]$$

olsun. Eğer $a_n \not\equiv 0 \pmod {p}$,

$$a_{n-1} \equiv \cdots \equiv a_0 \equiv 0 \pmod {p}, a_0 \not\equiv 0 \pmod {p^2}$$

ise, $f(x)$ polinomu $\mathbb{Z}[x]$ içinde indirgenemez.

Not. Bu kriter aslında $f(x)$ in $\mathbb{Q}[x]$ içinde indirgenemeyeceğini söyler. Bunu kanıtlamak da zor değildir.

Kanıt. İddianın doğru olmadığını varsayalım. O zaman $b_i,c_i \in \mathbb{Z}$ olmak üzere

$$f(x)=(b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0)(c_kx^k+\cdots+c_1x+c_0)$$

şeklinde yazılabilir. ($m \geq 1, k \geq 1$ ve $n = m+k$). Katsayılara bakarak $a_0=b_0c_0$ olur. $a_0 \equiv 0 \pmod {p}$ ve $p$ asal olduğu için $b_0 \equiv 0 \pmod {p}$ veya $c_0 \equiv \pmod {p}$ olmak zorundadır. $a_0 \not\equiv 0 \pmod {p^2}$ olduğu için de bunların her ikisi birden doğru olamaz. Genelliği bozmadan $c_0 \equiv \pmod {p}$ ve $b_0 \not\equiv 0 \pmod {p}$ olduğunu varsayalım. $a_n=b_mc_k \not\equiv 0 \pmod {p}$ olduğu için $c_k \not\equiv \pmod {p}$olmak zorundadır ve $c_j \not\equiv \pmod {p}$ özelliğini sağlayan $j$ indislerinin en küçüğünden söz edebiliriz. Bu en küçük indisi $r$ ile gösterelim. $c_0 \equiv 0 \pmod{p}$ olduğundan $1 \leq r$ ve

$$c_{r-1} \equiv \cdots \equiv c_0 \equiv 0 \pmod{p}$$

olur.Bu durumda

$$a_r=b_0c_r+b_1c_{r-1}+\cdots+b_rc_0+ \equiv b_0c_r \pmod{p}$$

$b_0 \not\equiv 0 \pmod{p}$ ve $c_r \not\equiv 0 \pmod{p}$ olduğu için $a_r \not\equiv 0 \pmod{p}$ olmak zorundadır. Hipoteze göre bu koşulu sağlayan tek katsayı $a_n$ olduğunda $r=n$ bulunur. Buradan da

$$n=m+k>k\geq r=n$$

çelişkisi çıkar.

Örnekler. 1. $f(x)=x^3+2x^2+4x+2$. Buradaa $a_3=1, a_2=2, a_1=4, a_0=2$dir. $p=2$ asal sayısına göre.

$$a_3 \not\equiv 0 \pmod{p}, a_2 \equiv a_1 \equiv a_0 \equiv 0 \pmod{p}, a_0 \not\equiv \pmod{p^2}$$

olduğundan Eisenstein Kriterini uygulayarak $f(x)$ polinomunun $\mathbb{Z}[x]$ içinde indirgenemeyeceğini buluruz.

2. $f(x)=x^3+2x^2+2x+4$. Bu polinomun katsayıları $1,2,2,4$ tür. $2,2,4$ü bölen tek asal sayı $p=2$ dir. Ancak $4 \equiv 0 \pmod{p^2}$ olduğundan bu polinoma Eisenstein kriterini uygulayabilmemiz mümkün değildir. Ama tabii ki bu durum bu polinomun $\mathbb{Z}[x]$ içinde indirgenebileceği anlamına gelmez. Ancak deneyerek

$$f(x) = x^3+2x^2+2x+4$$

$$= x^2(x+2)+2(x+2)$$

$$= (x^2+2)(x+2)$$

bulunduğundan $f(x)$ polinomu $\mathbb{Z}[x]$ içinde indirgenebilir.

3. $f(x) = x^7 – 47$. Burada katsayılar $1,0,0,0,0,0,0,-47$ olduğundan $p=47$ asal sayısı ile kriterimizi uygulayabilir ve polinomun $\mathbb{Z}[x]$ içinde indirgenemez olduğunu görürüz.

4.$f(x)=x^4+15$. Burada da kriterimizi $p=3$ veya $p=5$ asal sayısı ile uygulayabilirz.

5. $p$ bir asal sayı olmak üzere

$$f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$$

olsun. Polinomun bu şekline Eisenstein kriterinin uygulanamayacağı açıkça görülür. Ancak $f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}$ olduğunu gözleyerek ve $x=y+1$ tanımlayarak

$$f(x)= \frac{(y+1)^p-1}{y}$$

$$=\frac{1}{y} \Bigg\{ \sum_{j=0}^{p} \begin{pmatrix} p \\ j \end{pmatrix} y^{p-j}-1 \Bigg\} $$

$$=\sum_{j=0}^{p-1} \begin{pmatrix} p \\ j \end{pmatrix} y^{p-1-j}$$

$$= y^{p-1}+py^{p-2}+\frac{p(p-1)}{2}y^{p-3}+\cdots+p$$

$$= g(y)$$

$g(y)$’nin ilki hariç bütün katsayıları $p$ asal sayısı ile bölünebilir. Bunun nedenini görmek için bu katsayıların her birinin payında $p$ çarpanı olduğunu ve paydasındaki sayıların da $p$ den küçük tamsayıların çarpımı olduğunu ve dolayısıyla $p$ ile sadeleşemeyeceğini gözlemek yeterlidir. $g(y)$ polinomunun Eisenstein kriterinin diğer koşullarını sağladığı açıkça görüldüğünden, $g(y)$ polinomu $\mathbb{Z}[y]$ içinde indirgenemez. Buradan da $f(x)$ in indirgenemediğii çıkar. Aksi olsaydı, yani $f(x)=f_1(x)f_2(x)$ şeklinde yazılabilseydi,

$$g(y)=f(x+1)=f_1(x+1)f_2(x+1)=f_1(y)f_2(y)$$

olacağından $g(y)$ indirgenebilecekti.

Bu kriterin bir de genelleştrilmiş bir şekli vardır. Şimdi de ondan söz edelim.

Teorem (Genelleştirilmiş Eisenstein kriteri). $f(x)=a_nx^x+\cdots+a_1x+a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ olsun. Bir $p$ asal sayısı ve $l<n$ için,

$$a_n \not\equiv 0, a_l \not\equiv 0, a_{l-1} \equiv \cdots \equiv 0 \pmod{p}$$

$$a_0 \not\equiv 0 \pmod{p^2}$$

ise $\mathbb{Z}[x]$ içinde, $f(x)$ indirgenemez veya $f(x)$ in derecesi en az $l$ olan ve indirgenemeyen bir çarpanı vardır.

Kanıt. $f(x)$ indirgenebilirse, $m \geq 1, k \geq 1$ ve $b_i,c_i \in \mathbb{Z}$ olmak üzere

$$f(x)= \underbrace{(b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0)}_{g_1(x)} \underbrace{(c_kx^k+\cdots+c_1x+c_0)}_{f_1(x)}$$

$$=g_1(x) f_1(x)$$

olsun. Önceden olduğu gibi genelliği bozmadan, $b_0 \not\equiv 0 \pmod{p}$ ve $c_0 \not\equiv 0 \pmod{p}$ olsun.

$$c_1b_0+c_0b_1=a_1 \equiv 0 \pmod{p}$$

ve

$$b_0 \not\equiv 0 \pmod{p}, c_0 \equiv 0 \pmod{p}$$

olduğundan $c_1 \equiv 0 \pmod{p}$ bulunur. Bu şekilde sırayla $a_2,\ldots, a_{l-1}$ i yazarak,

$$c_0 \equiv c_1 \equiv \cdots \equiv c_{c-1} \equiv 0 \pmod{p}$$

bulunur. Ayrıca $b_mc_k = a_n \not\equiv 0 \pmod{p}$ olduğundan,

$$c_k \not\equiv 0 \pmod{p}$$

Böylece $k \leq l-1$ olamayacağı hemen görülür. Demek ki $k \geq l$ olmak zorunda.

$k=l$ olurs kriterin ilk şekli $f_1(x)$’e uygulanabilir ve $f_1(x)$ in indirgenemez olduğu görülür (derece $f_1(x)=l$).

$$a_l=c_lb_0+c_{l-1}b_1+\cdots \equiv c_lb_0 \pmod{p}$$

ve $a_l \not\equiv 0 \pmod{p}$ olduğu için $c_l \not\equiv 0 \pmod{p}$ bulunur. Bu durumda $f_1(x)=c_kx^k+\cdots+c_1x+c_0$ olup $k>l$ için,

$$c_k \not\equiv 0, c_l \not\equiv 0, c_{l-1} \equiv \cdots c_0 \equiv 0 \pmod{p}, c_0 \not\equiv 0 \pmod{p}$$

sağlandığından, şimdiye kadar $f(x)$ için yaptıklarımızı $f_1(x)$ için yapabiliriz. $f_1(x)$ indirgenemez ise teorem kanıtlanmış olur, indirgenebilirse $f_2(x)$ şekil olarak $f_1(x)$ ve $f(x)$ e benzemek üzere

$$f_1(x)=g_2(x)f_2(x)$$

olarak yazabiliriz ve bu süreci devam ettiririz. Ancak

$$l \leq \text{derece} f_i(x) < \text{derece} f_{i-1}(x)$$

$$< \cdots < \text{derece} f_1(x)$$

olduğundan, bu süreç bir yerde bitmek zorundadır. $j$’nci adımda biterse.

$$f(x)= g_1(x)f_1(x)=g_1(x)g_2(x)f_2(x)= \cdots= g_1(x)g_2(x) \cdots g_j(x)f_j(x)$$

şeklinde yazılır. Burada $f_j(x)$ indirgenemez ve derecesi de en az $l$ dir.

Örnek. 1993 Uluslararası Matematik Olimpiyatı, birinci sorusunu hatırlayalım. Bu yazımızdaki terminolojiyle ifade edersek bu soruda $n>1$ iken $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ polinomunun $\mathbb{Z}[x]$ içinde indirgenemeyeceğini göstermemiz isteniyordu. Eisenstein kriterinin ilk şekli bu soruyu uygulanamaz, fakat genelleştirilmiş şekli uygulanabilir. $p=3$ asal sayısı ve $l=n-1$ sayısı için teoremin hipotezi sağlanır. Teoreme göre $f(x)$ indirgenemez veya derecesi en az $n-1$ olan indirgenemeyen bir $g(x)$ çarpanı vardır. $g(x)$ in derecesi $n$ ise $g(x)=f(x)$ olmak zorundadır. $g(x)$ in derecesi $n-1$ ise $f(x)$ in aynı zamanda derecesi $1$ olan bir çarpanı, yani rasyonel bir kökü vardır. Bu rasyonel kök $\frac{\mp 3}{\mp 1} = \mp 3$ olmak zorundadır. Fakat $f(3) \neq 0$ ve $f(-3) \neq 0$ olduğu kolayca görüldüğünden, $f(x)$ in derecesi $n-1$ olan ve indirgenemeyen çarpanı yoktur. Bu durumda geriye bir tek seçenek kalmaktadır. O da $f(x)$ in indirgenemez olduğudur.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1994 yılı 1. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Emre Kahvecioğlu‘na ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar