Ünlü Kadın Matematikçiler – Emmy Noether (1882-1935)

Yazar : Hülya ŞENKON

Yıl: 1994-2

Sayı: 17

Emmy NOETHER, 1882’de Erlangen’de dünyaya geldi. Almanyan’nın güneyindeki bu küçük kentte, kiliseden bağımsız olarak çalışan üç üniversiteden biri olan ve 1743 yılında kurulmuş bulunan Erlangen Üniversitesi yer almaktaydı. Diğer iki üniversite ise Halle (1697) ve Göttingen (1737) Üniversiteleri idi. Erlangen’in yetiştirdiği iki büyük matematikçi, sentetik geometri alanındaki çalışmaları ile ünlü olan Christian von Staudt idi. Fakar Erlangen’i dünya çapında ünlü kılan, Felix Klein oldu. Klein, 1872 yılında Erlangen Üniversitesinde verdiği açılış konferansında, ilk kez kendisi tarafından farkına varılan, grup kavramının geometri açısından anlamını açıkladı; ortaya koyduğu bu bilgiler “Erlanger Programm” adıyla dünyanın dört tarafına yayıldı ve bu sayede Erlangen, matematik literatüründe en çok adı geçen kentlerden biri oldu. Klein’ın en yakın çalışma arkadaşlarından biri Paul Gordan idi ki, tek doktora öğrencisi, meslektaşı Max Noether’in kızı Emmy Noether olacaktı.

Emmy Noether 18 yaşında iken, Ansbach Belediyesince düzenlenen, Fransızca ve İngilizce öğretmenliği sınavlarına başvurdu. Bu sınavları her iki dilde de “Pekiyi” derece ile başaran Emmy, bir süre öğretmenlik yaptıktan sonra, üniversite öğrenimi ile ilgilenmeye başladı. O sırada üniversitelerde çok az sayıda kız öğrenci vardı; bunlar, mesleki bilgilerini geliştirmek isteyen, öğretmenlerdi. Dinlemek istedikleri derslere, ancak ilgili profesörlerin izin vermesi koşuluyla, sınava girme hakkı olmaksızın, dinleyici olarak devam edebiliyorlardı. Profesörlerin büyük bir kısmı, bu konuda izin vermekten kaçınıyordu; hatta öyle ki, yıllarca sonra bu kısıtlama kaldırıldığı halde, Berlin’de bir profesör, dershanede bir kız öğrenci bulunduğu için, derslerine başlamamakta diretiyordu. 1901 kış yarıyılında Erlangen Üniversitesi’nde kayıtlı 984 erkek öğrencinin yanında Emmy Noether ve ikinci bir bayan öğrenci, dinleyici olarak bulunuyordu.

Emmy, olgunluk sınavından sonra 1903/4 kış yarıyılını Göttingen Üniversitesi’nde geçirdi; orada astronom Karl Schwarzschild’in ve matematikçi Hermann Minkowski, Otto Blumental, Felix Klein ve David Hilbert’in derslerini dinledi ve yarıyıl sonunda tekrar Erlangen’e döndü. Artık kız öğrencilerin de üniversiteye resmen kaydolması, yasal olarak mümkündü. Emmy, 24 Ekim 1904 tarihinde Erlangen Üniversitesi’ne, matematik öğrenimi görmek üzere, 46 erkek öğrencinin yanında tek kız öğrenci olarak kaydoldu.

Emmy, Gordan’ın denetiminde, invariyantlar teorisi ile ilgili, “Üç değişkenli bikuadratik formun form sisteminin inşası” adlı bir çalışma hazırladı ve bunu 2 Temmuz 1908 tarihinde Erlangen Üniversitesi’ne doktora tezi olarak sundu. Bu tezin giriş kısmı ile 1. bölümünün özeti, Erlangen Fizik ve Tıp Derneği raporları arasında, aynı isim altında yayınlandı ki, bu Emmy Noether’in ilk yayınıdır. Doktora çalışmasının tamamı ise J. Reine Angew. Math., 134, 23-90 (1908)’de yayınlanmış olup, çalışmanın sonunda 300’den fazla, açık olarak verilmiş invariyanttan oluşan bir cetvel bulunmaktadır. Bu çalışmanın gerek konusu, gerekse işleniş biçimi, tamamen Gordan’ın tarzındadır ve Emmy’nin ileriki yıllarda soyut cebir kosunundaki gelişimiyle pek fazla ilgisi yoktur. Noether kendisi bile, sonraları doktora tezini ve invariyantler teorisi konusundaki birkaç çalışmasını “Mist (değersiz şey)” olarak niteliyordu, hatta 1932 yılında, doktora çalışmasının Crelles Journal’in hangi cildinde yayınlandığını bile artık hatırlamadığını ifade ediyordu.

E. Noether, doktorasını verdikten sonra birkaç yıl Erlangen Üniversitesi Matematik Enstitüsü’nde fahri olarak görev yaptı; bir yandan, yaşı ilerledikçe sağlığı bozulan babasının çalışmalarına yardımcı oluyor, Öte yandan invariyantlar teorisi konusundaki kendi çalışmalarını sürdürüyordu. Bu arada, yaşamının bundan sonraki bölümünü matematik araştırmalarına adayacağı iyice kesinleşmişti.

Şimdi tekrar Erlangen’a dönelim: Gordan 1910 yılında emeritüs profesör olmuş yer ine Erhard Schmidt getirilmişti. Falcken berg, Schmidt’in çalışmalarından birinden esinlenerek, “Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerinin dallanmaları” konulu dok tora tezini hazırladı. Schmidt’in halefi ise Ernst Fischer oldu ki, Noether’in en yakın danışmanı idi. Emmy, kendisiyle istediği za man ve istediği kadar matematikten söz ede biliyordu. Her ikisi de Erlangen’de oturmalarına ve seminerlerde karşılaşmalarına rağmen, E. Noether’den E. Fischer’e yazılmış, matematikle dolu, çok sayıda kartpostal bulunmak tadır. Bu kartlar okunduğunda şu izlenim uyanır: Noether, Fischer ile yaptığı bir konuşmanın hemen ardından kaleme sarılmakta ve az önce kopmuş olan düşünce zincirinin devamını belki unutmamak için, belki de bir sonraki konuşmaya temel hazırlamak üzere yazarak, kendisine göndermektedir. Fischer, zor savaş koşullarına karşın, tamamı eline ulaşmış olan bu yazılı konuşmaları büyük bir özenle saklamıştır. 1911’den 1929’a kadar uzanan bu yazışmaların en yoğun olduğu dönem, Noether’in Göttingen’e gitmesinden ve Fischer’in askere çağrılmasından önceki 1915 yılıdır. Hiç şüphe yok ki, Noether Fischer’in etkisi altında, Gordan’ın salt hesaba dayanan algoritmik tarzını terkederek, Hilbert’in düşünce tarzına yöneldi.

Noether, bir yandan Göttingen’de Landau tarafından kendisine aktarılmış olan, Dedekind’in “Grubu önceden verilen bütün denklemleri bulma” problemi ile uğraşıyor, öte yandan 2. doktora öğrencisi olan Seidelmann’ın doktorasını yönetiyordu. Fritz Seidelmann, Münih’te Friedrich Hartogs’un yanında, grubu önceden verilmiş olan 4. dereceden denklemlerle ilgili bir çalışma yapmış ve bu çalışmada, bazı özel hallerde denklemleri vermeyi başarmıştı. Emmy Noether, Seidelmann’a parametrik gösterilişi araç olarak kullanmasını tavsiye etti ve bu tavsiy eye uyan Seidelmann, 3. ve 4. dereceden denklemler için problemi en genel haliyle çözdü. E. Noether’in 1916 yılında Göttingen’de tamamladığı “Grubu önceden verilen denklemler” adlı çalışması, Seidelmann’ın doktora tezinin bir özeti ile birlikte, Math. Ann., 78 (1917/18)’de yayınlandı.

1893 yılında Hilbert, cebirsel invariyantlar teorisinin gelişimi üzerine bir değerlendirme yapıyor ve bu gelişim sürecini üç periyoda ayırıyordu.

1) İnvariyantlar teorisinin kurucuları olan Cayley ve Sylvester tarafından temsil edilen, bu dönemdeki çalışmalar, her nesilden matematikçilerin hayran oldukları, mükemmel bir sanat eseridir.

2) Sembolik hesap periyodu: Aronhold ve Clebsch tarafından icat edilmiş olan sembolik hesap, Clebsch ekolünce çok sık kullanılmış, özellikle Gordan tarafından, çok güç hesaplarda büyük bir ustalıkla uygulanmış, ayrıca Hilbert’in doktora tezinde ve ona ilişkin bazı çalışmalarında da kullanılmıştır.

3) Bizzat Hilbert’in yürüttüğü çalışmaların yer aldığı ve kendisi tarafından en kritik periyot olarak nitelendirilen 3. periyot: Hilbert, 1888 yılı paskalya tatilinde Erlangen ve Göttingen’e bir yolculuk yaptı. Önce, 1868 yılında Sonluluk Teoremini ispat etmiş bulunan, invariyantlar kralı Gordan’ı ziyaret etti. Gordan’la yapılan görüşmenin sonucu şuydu: Hilbert, invariyantlar sisteminin sonluğu problemini genel olarak, yani n değişkenli cebirsel formlar için, fakat sembolik yöntemi kullanmaksızın, tamamen kendi düşünce ve yaratma gücünü ortaya koyan bir yöntemle çözmüştü. Hilbert’in invariyantlar teorisine ilişkin araştırmaları, sırasıyla 1890 ve 1893 yıllarında yayınlanan “Cebirsel formlar teorisi hakkında” ve “Tam invariyant sistemleri hakkında” adlı çalışmalarında toplanmıştır.

Mayıs 1914’te Noether, “Rasyonel fonksiyon cisimleri ve sistemleri” konulu çalışmasını tamamladı ki, burada “Beni bu çalışmaya iten, Fischer ile yaptığım konuşmalar oldu” diyordu. Noether, 1919 yılında yazdığı özgeçmişinde, soyut cebir ile aritmetik yöntemlerle uğraşmasında en önemli rolü oynayan ve daha sonraki bütün çalışmalarında da belirleyici olan dürtüyü Fischer’den aldığını ifade ediyordu.

Noether, böylece Hilbert’in çalışma alanında gitgide derinleşti ve invariyantlar konusunda uzmanlaştı. Bu arada Klein ve Hilbert, Noether’i Göttingen’e davet ettiler. Noether, 1915’te Fischer’e şöyle yazıyordu: “Invariyantlar teorisi burada moda, hatta fizikçi Hertz bile Gordan yöntemleri ile çalışıyor. Hilbert gelecek hafta kendisine ait Einstein Diferansiyel Invariyantları konusunda bir konferans verecek; Göttingenliler orada bir şeyler daha öğrenecekler.”

Noether, 9 Kasım 1915’te Mathemati- sche Gesellschaft in Göttingen (GMG) de “Tam transandant sayılar hakkında” konulu bir konferans verdi. Noether’in Aralık 1915 te sunduğu doçentlik tezi, “kanun, tüzük ve yönetmeliklerin müsait olmadığı” gerekçesiyle reddedildi. 1908. de çıkarılmış olan doçentlik sınav yönetmeliğine göre yalnızca erkek adaylar, doçentlik için başvurabiliyordu. Uzun süren uğraşmalar sonucu yaptığı başvuru, Kültür Bakanlığı tarafından red dedilen Hilbert, konuya ilişkin olarak, hiddetle şunları söylüyordu: “Adayın cinsiyeti, doçent ola bilmesi için bir engel oluşturmamalı. Burası nihayet bir üniversite, hamam değil.”

Göttingen Georg-August Üniversitesi’nin 1916/17 kış yarıyılı konferans listesinde şunları okuyoruz: “Matematik-Fizik Semineri: Invariyantlar Teorisi. Prof.Dr. Hilbert, Frl.Dr. E. Noether’in desteği ile, pazartesi günleri 16.00 18.00 arası, ücretsiz.” Noether’in Hilbert’e kon ferans ve seminerlerinde yaptığı destek, 1919 yaz yarıyılına kadar sürdü. Bu arada savaş sona erdi ve politik gelişmeler, özellikle kadınlara bazı yeni haklar getirdi. Artık Noether doçentlik için başvurabilecekti.

Savaş yıllarında Hilbert’e destek olmanın yanında, kendi çalışmalarının da yoğun bir şekilde sürdüren Noether’in diferansiyel invariyantlarla uğraşması, 1917 ve 1918 yıllarına rastlamaktadır. Noether, Fischer’e yazdığı bir mektupta “İlkbaharda ispatları henüz tam olmayan diferansiyel invariyantları şimdi gerçekten, lineer halde bir eşdeğerlik problemine indirgeyebildim; bunu teorik olarak ta becerebilsem ne güzel olur” diyordu. Noether, GMG’de “Keyfi diferansiyel ifadelerin invariyantları hakkında” adlı bir konferans verdi, aynı yıl 25 Ocak tarihinde ise Klein “Königliche Gesellschaft der Wissenschaften” in özel bir oturumunda “Bayan E. Noether ve keyfi dereceli diferansiyel formlar” konulu bir sunuş konuşması yaptı. Noether, 23 Temmuz 1918’de gene GMG’de “İnvariyant varyasyon problemleri” konulu bir konferans verdi ve aynı yıl Eylül so nunda da Klein’ın sunuşunu yaptığı çalışmasını tamamladı. Göttinger Nachr., 235-257 (1918)’de yayınlanan söz konusu çalışma 1919 tarihinde Göttingen Üniversitesi’nce doçentlik tezi olarak kabul edildi.

Göttingen Üniversitesi Matematik Bölümünce 1922 yılında Noether’e “Ausseror dentlicher (fevkalâde, müstesna) Professor” un vanının verilmesi isteğiyle bakanlığa sunulan dilekçede şöyle deniyordu: “Doç. E. Noether, bilimsel bakımdan fevkalade yetenekli olmakla birlikte, geniş öğrenci kitlelerine elemanter konularda ders verme bakımından uygun değildir, ancak bilimsel kudreti ile, yetenekli öğrenciler üzerinde çok etkin rol oynamaktadır ki, bu öğrencilerden büyük bir kısmı halen üniversitelerimizde profesör olarak görev yapmaktadır.”

Van der Waerden, Noether’in güçlü bir hakem olduğunu, bu özellikleriyle Mathematische Annalen camiasının değer biçilmez bir üyesi olduğunu yazıyor. Hermann Weyl’e göre Noether, Mathematische Annalen dergisinde editör yardımcısı olarak yaptığı hizmetlerin hiç bir zaman açık olarak zikredilmemiş olmasına çok içerliyordu. Kendisinin ölümünden sonra Van der Waerden’in yazdığı ve yukarıdaki cümleleri içeren “Nachruf”, 1935 yılında Mathematische Annalen’de yayınlandı. Bu önemli bir olaydı. Çünkü Hitler döneminde, yani 1945 lerde ölmüş birçok yahudi matematikçinin “Nachruf”ları, Alman mecmualarında yıllarca sonra yayınlandı.

Prag Üniversitesi profesörlerinden Vladimir Korinek, 1935 yılında Noether’in arkasından şunları söylüyordu: “Noether, savaştan hemen sonra, modern cebirin iki problem grubundan birincisine yöneldi ki, araştırıcı yeteneğinin öz anlamı, buna dayanır. Bu iki problem grubu, yani genel ideal teorisi ve komütatif olmayan sistemler teorisi, onun ellerinde dev teoriler haline geldi.” Gerçekten, Noether yeniden modül ve ideal teorisine dönmüştü. Bunun bir nedeni, Fischer ile yaptığı yazışmalar, diğeri ise 1917’de Matematik Derneği’nde, “Lasker’in modül teorisindeki parçalamış teoremleri” konusunda yaptığı konuşma idi. Bu konu doğrultusunda ilk çalışması, W. Schmeidler ile birlikte yaptığı ve Math. Z., 8 (1920)’de yayınlanan çalışması oldu. N. Bourbaki, 1960 yılında, o tarihlerde cebir derslerinde henüz sözü edilemeyen sol ve sağ ideal kavramlarının, ilk kez “Diferansiyel Operatörlü Halkalar” ile ilgili bu çalışmada, çok ilginç bir biçimde kullanıldığına işaret etmektedir.

Ekim 1920’de Mathematische Annalen dergisinin redaksiyon komitesine Erlangen’den Noether in “Idealtheorie in Ringbereichen” adlı bir çalışması geldi ki, bu cebirin daha sonraki gelişimi için temel teşkil eden çalışmalardan biriydi.

1922 tarihinde Bilim, Sanat ve Eğitim Bakanlığı tarafından Noether’e “Ausserordentlicher Professor” unvanı tercih edildi. 1923 tarihinde de Göttingen Üniversitesi Matematik Bölümü’nün ısrarlı girişimleri sonucu Noether’e cebir derslerini ve uygulamalarını yaptırmak üzere, sözleşme imzalatıldı.

Noether in Göttingen’de doktorası ilk kabul edilen öğrencisi Grete Hermann idi. Bugün hayatta olan Hermann, kendisine gerçekten bir anne gibi yakınlık ve şefkat göstermiş olan dok tora annesini minnet ve şükranla anmaktadır. Grete Hermann ile aynı tarihlerde Noether’in iki doktora öğrencisi daha vardı: Rudolf Hölzer ve Heinrich Grell. Hölzer, 23 yaşında doktora çalışmasını tamamladı, fakat bitirme sınavına girmeden kısa bir süre önce öldü. Grell ise 1926 yılında doktora ünvanını aldı. Grell, 1952 yılında bulunduğu enstitüde, hocasının 70. doğum yıldönümü münasebetiyle arkadaşları ve öğrencileri tarafından gerçekleştirilen toplantıda ve 1965 yılında H. Weyl’in anısına düzenlenen bir toplantıda da aynı duyguları dile getiriyordu. Grell, Noether’in “Ideal differentiation und Dif ferente” adlı çalışmasının J. Reine Angew. Math., 188, 1-21 (1950)’de yayınlanmasına da vesile oldu.

1929 yılında Werner Weber, “Keyfi doğal sayıların kuadratik formlarla gösterilebilirtiğinin ideal teorisi açısından anlamı” adlı çalışmasıyla ve ondan 15 gün sonra da Tel Avivli matematikçi Jakob Levitzki, gene Noether’in yönetiminde dok tor ünvanını aldı.

Noether’in büyük ümit bağlanan doktora öğrencilerinden biri de Hans Fitting idi. 1931 yılında otomorfi halkaları konusundaki çalışması ile doktor ünvanını alan Fitting’in daha sonra hazırladığı “Bir grubun direkt parçalanamayan faktörlerin direkt çarpımı olarak gösterilişleri” konulu makalesi de Noether tarafından destek lendi. Noether, Fitting’e “Notgemeinschaft der Deutschen Wissenschaften”dan bir burs temin etti ve bu sayede Fitting, Königsberg’de doçent olana kadar, Göttingen ve Leipzig’de çalışmalarını sürdürdü. 1938 yılında, henüz 32 yaşında iken, yaşamını yitiren Fitting, sonradan kendisinin adı verilen Fitting grubu ve Fitting radikali ile matematik literatürüne geçti.

Gene Noether’in yanında “Fonksiyon cisimleri üzerindeki cebirler” konusunda doktora yapan, fakat bitirme sınavını hocasının hicretin den sonra veren Çinli matematikçi Chiungtze Tsen’in akibeti hakkında ise hiçbir bilgi yok tur. 1936 yılında Tsen’in bir çalışmasının J. Chinese Math. Soc., 1, 81-92’de yayınlanmış olması, kendisinin anavatanına dönmüş olması olasılığını akla getirmektedir.

Noether’in Göttingen’deki son doktora öğrencisi, Otto Schilling’dir. Schilling, 1935 yılında Amerika’ya gitti ve orada cebir konusunda başarılı çalışmalar yaptı. Schilling’in en tanınmış eseri, değerlendirme teorisi ile ilgili kitabıdır. Kendisini bu konuya yönelten kişi, o sıralarda Hensel, Krull ve Ostrowski’nin çığır açan araştırmaları üzerinde çalışan Hasse oldu.¹

Noether okulu denilince yalnızca Noether’in yanında doktora yapmış kişiler değil, aynı zamanda onunla aynı matematik görüşe sahip olan, onunla birlikte çalışmış, yoğun fikir alışverişinde bulunmuş ve soyut cebirin gelişmesine katkıda bulunmuş tüm matematik çiler akla gelmektedir. Söz konusu matematik çiler içinde en başta zikredebileceğimiz, Noether ruhunu Freibur’a taşıyan Wolfgang Krull’dur ki, burada F.K. Schmidt ve Reinhold Baer gibi iki ünlü cebircinin yetişmesine vesile olmuştur.

Noether okulunun mensuplarından biri de, doktora üstü çalışmalar yapmak üzere Göttingen’e gelmiş olan, Avusturyalı Gottfied Köthe idi. Köthe, Artin ile Noether’in başlatmış oldukları ve Noether’in soyut ideal teorisi yöntemleri ve Krull’un genel grup teorisi yöntemleriyle çalışılan hiperkompleks büyüklükler teorisinin gelişiminde aktif rol oynadı.2

Noether okulunun bir diğer mensubu da iki ciltlik ünlü “Lehrbuch der Algebra” kitabının yazarı van der Waerden’dir. Söz konusu kitabın 7. baskısında, kitabın isminin altına “E. Artin ve E. Noether’in konferanslarından yararlanılmıştır” ibaresi eklenmiştir. Van der Waerden, Noether’in yanına Hollanda’dan, az çok olgunlaşmış ve kendine özgü fikirleri olan bir matematikçi olarak geldi; ondan kavram oluşturmayı ve, görüşlerini formüle etmesini ve problemlerini çözmesini sağlayan düşünce şeklini öğrendi. Van der Waerden, Noether ile ilgili “Nachruf” unda, Noether’in kullandığı araçlardan çok, onları kullanış biçiminin ve ayrıca kavramları oluşturmasındaki açıklık ve mükemmeliyetin kendisini derinden etkilediğini ifade ediyordu. Van der Waerden bundan tam 30 yıl sonra, yani 1965 yılında DMV’un 75. kuruluş yıldönümü töreninde yaptığı konuşmada, Galois’dan başlayarak ce birin tarihçesini büyük bir ustalıkla özetliyor ve 1920-1934 yıllarını E. Noether, E. Artin ve A. Ostrowski’nin cebire yeni bir yön verdik leri, çok zengin bir zaman dilimi olarak nitelendiriyordu. Bu konuşmada van der Waerden, Noether’in eserlerinin, cebirin gelişimindeki rolü şöyle dile getiriyordu: “E. Noether, Dedekind’in ideal teorisini Hilbert ve Lasker’in teoremleri ile destekleyerek, genel ideal teorisinin temellerini atmayı başardı ve sonradan özellikle W. Krull, bu teoriye önemli katkılarda bulundu. Noether bundan başka, her idealin, asal ideal kuvvetlerinin çarpımı olarak gösterilebilmesi için gerek ve yeter koşullar verdi. Van der Waerden, Prüfer ve Artin, bu koşulları birer birer atarak genelleştirmeler elde ettiler. Dedekind’in ideal teorisinin geniş kapsamlı bir genelleştirmesi, Paul Lorenzen tarafından verildi. Heinrich Brandt tarafından verilen bir başka genelleştirme de komütatif olmayan cebirlerin ideal teorisiydi ki, Artin’in, cebirler aritmetiğinin genel inşasının temellerini atmasını sağladı. Van der Waerden bu arada kendisi tarafından inşa edilen ve Steinitz’in cisim teorisi ve homojen formlara ilişkin Mertens rezültantlarından başka, Lasker ve Noether’in ideal teorisine de dayanan cebirsel geometriye değiniyordu.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1994 yılı 2. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Türker Kayalıoğlu’na ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar

Şirince Akşam Sofrası III : Dikdörtgenlere Parçalanmış Dikdörtgen

Yazar: Ali Nesin (anesin@nesinvakfi.org) Yıl: 2022-3 Sayı: 113 Soru. Bir dikdörtgen, şekildeki gibi sonlu sayıda küçük dikdörtgene parçalanıyor. Küçük dikdörtgenlerin her birinin her iki kenarından en az biri...

Olasılık öğretiminde farklı bir yaklaşım: İnanç ve frekans bakış açıları

Yazar: Sibel Kazak Yıl: 2022-3 Sayı:113 Olasılık kuramı, belirsizlik durumlarında öngörüde bulunmamıza ve rastlantısallıkları değerlendirirken akılcı düşünmemize yardımcı olur . Çeşitli bilim alanlarından günlük yaşantımıza belirsizliğin ve...

Sayı Saymalı Kombinatorik

Yazar: Kağan Kurşungöz Yıl: 2022-3 Sayı: 113 En genel anlamda kombinatorik sonlu yapılar üzerinde çalışır. Doğal sayılar, tamsayılar veya kesirler ilgi alanına girdiğindeyse, bir parametreye bağlı olarak...