Matematiksel Estetik

Yazar: Uluğ Çapar

Sayı: 1992-4

Ünlü filozof, düşünür ve matematikçi Bertrand Russell “Mysticism and Logic adlı kitabında matematikteki estetik konusunda şunları yazar:

“Matematik doğru algılandığında sadece gerçeği değil, heykeldeki türden yüceltilmiş, donuk ve süssüz bir güzelliği de içerir. Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doğasındaki zayıflıklara başvurmaz, resim ve müziğin göz kamaştırıcı tuzaklarını da kullanmaz; ona karşı en katışıksız bir arılığa ve ancak en yüce sanat eserlerinde görülebilecek ağırbaşlı bir mükemmelliğe erişebilme gücüne sahiptir.”

Sayfalar dolusu türev alma ve cebir işlemlerine boğulup bir diferansiyel denklemin seri çözümünün katsayılarını hesaplamağa çalışan ya da çok bilinmeyenli karmaşık bir denklem sistemini çözümlemeğe uğraşan bir matematik öğrencisi kendi kendine : “Russell’ın sözünü ettiği güzellik bu mu?” diye sorabilir, satranç ve benzeri bazı zekâ oyunlarındaki ince görüş ve buluşların çok daha fazla pozitif bilim türünde bir estetik İçerdiğini düşünebilir. Aslında matematikteki estetik en belirgin biçimde işin çok daha başlarında, bir de sarmal bir gelişim sonunda ulaşılan ileri aşamalarında kendini gösterir.

İlk başlardaki ekstremde matematikçi güzellik yaratma konusunda bir hayli edilgendir, daha çok olanı biteni gözlemeğe, keşfetmeğe çalışır. Fizik, kimya, astronomi v.b. pozitif bilimlerdeki gözlem faaliyetlerine çok benzeyen bu devrede insanlığı iki bin, iki bin beş yüz yıldan beri uğraştıran gerçel sayılar, iki veya üç boyutlu Euclid geometrisi gibi temel matematik yapılar ya da daha yakın zamanlarda ortaya çıkan karmaşık sayılar, sonsuz seriler, özel fonksiyonlar ve bunun gibi objeler gözlenir. Bu gözlemler sonucu ortaya çıkan bulgular matematikçinin yaratıcılığından oldukça bağımsız, bazı fiziksel özelliklerinin eşyanın doğasında var oluşu türünde, incelenen matematiksel yapının içeriğinde yer alan gerçekler kümesidir. Bu aşamada estetik, bulgu İfadelerinin yalınlığı ve zarafeti, kullanılan malzemenin azlığı, sonuçların şaşırtıcılığı ve genellik düzeyi ile kendini belli eder. Şimdi bu türden bazı bulguları “The Mathematical Intelligencer” den kısaltarak aktaralım. Söz konusu dergi, okuyucularından bu sonuçlara matematiksel güzellik açısından $0$ ile $10$ arasında puanlar vermelerini de istemiştir.

1) Çok yüzlüler İçin Euler formülü:

K + Y = A + 2, K: Köşe sayısı, Y : Yüz sayısı A: Ayırt sayısı.

2) Herhangi bir kare matris kendi karakteristik denklemini sağlar.

3) Sonsuz asal sayı vardır.

4) Karesi 2 olan hiçbir rasyonel sayı yoktur.

5) $4n + 1$ biçimindeki herhangi bir asal sayı, tek olarak belirlenen iki tam sayının kareleri toplamı olarak yazılabilir.

6) $1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+ \dots = \frac{\pi^2}{6}.$

7) $\frac{1}{2\times 3\times 4}- \frac{1}{4\times 5\times 6}+ \frac{1}{6 \times 7 \times 8}- \dots = \frac{\pi -3}{4}$

8) $\pi$ transandan bir sayıdır.

9) 77 den büyük herhangi bir tamsayı, tersleri toplamı 1 olan tamsayıların toplamı olarak yazılabilir.

10) Köşeleri düzlemsel ağ noktaları ile çakışan hiçbir eşkenar üçgen yoktur.

11) Herhangi bir toplulukta oradaki arkadaş sayıları eşit olan iki kişi vardır.

12) Bir tamsayının tek tamsayılardan oluşan partisyonları (bölüşümleri) nın sayısı, birbirinden farklı tamsayılardan oluşan partisyonlarının sayısına eşittir.

13) Eğer bir düzlemin noktaları kımızı, sarı veya mavi renkle boyanırsa aralarındaki uzaklık bir birim olan aynı renkli iki nokta vardır.

14) Her düzlem harita 4 renkle boyanabilir.

15) Kapalı birim daireyi kendi İçine çeviren sürekli bir dönüşümün çakılı noktası vardır.

16) $\sqrt{2}$nin katlarının yalnız tamsayı kısımlarını yazalım, alta da bu dizide eksik kalan tamsayıları sıralayalım :

$1,2,4,5,7,8,9,11,12, \dots$

$3,6,10,13,17,20,23,27,30,…$

Bu takdirde iki dizi arasındaki fark $n$ inci pozisyonda $2n$ olur.

17) Düzgün bu sekizgen içine yerleştirilen düzgün bir yirmi yüzlü kenarları altın oranda böler.

18)Gruplar için kelime problemi çözümsüzdür.

19) Bir altgrubun eleman sayısı grubun eleman sayısını böler.

20) $e^{i\pi}=-1.$

21) 5 düzgün çokyüzlü vardır.

Matematiğin ileri aşamalarındaki uçlarda ise matematikçi yalnızca varolan yapıları gözlemlemekle yetinmez, kendi özgün yapılarını da tasarımlayıp kurabilir. Bu, doğayı gözleyerek yinelemekten vazgeçip, kendi iç dünyasına düşsel, bazen de soyut bir biçimde yönelen çağdaş ressam örneğinde olduğu gibi ona sonsuz ufuklar ve yaratıcılık zemini sağlar. Bu soyut yapının şekillenişindeki kişisellik, seçenekler dizisi ve özgünlük Russell’ın sözünü ettiği estetik öğeleri de birlikte getirir.

Matematikte soyutluk gereksinimi asırlar boyunca kazanılan bilgi ve tekniklerin kontrolsüz bir biçimde birikip yağışmasından kaynaklanır. Bu korkunç hacimdeki tanımlar, önermeler ve teknikler yığınını yaklaşılabilir hale getirmek için tekrarların ayıklanması, benzerlerin sınıflandırılması, aynı sınıf içindeki veya sınıflar arasındaki ortak özellik ve yapıların ortaya çıkarılması gerekir. Örneğin doğrusal denklem takımları, doğrusal diferansiyel denklemler, doğrusal integral denklemler ile ilgili problemleri çözmeğe çalışan bir kişi, bir süre sonra birbirinden farklı matematik dallarına ait olarak bilinen bu problemleri çözümlerinde aslında aynı şeyin yapılmağa çalışıldığını, diğer bir deyişle her üç grupta da doğrusal bir operatörün tersinin elde edilmek istendiğini, veya operatörün spektrumunun ve bunun bazı özelliklerinin arandığını farkeder. Böylece bu problemlerle ayrı ayrı kompartmanlar içinde uğraşılmak yerine doğrusal vektör uzayları, doğrusal topolojik uzaylar, Banach cebirleri gibi soyut yapılar aksiyom gruplan ile tanımlanır, bu yapılardaki temel özellikler bu bulgular kümesi tek bir kez elde edilir, fakat bulunanlar bu soyut yapının kapsadığı bütün problem alanları veya altyapılar için geçerli olur. Bu soyut yapı içinde elde edilen sonuçlar, uygulamalı matematiğin değişik dallarında bilinen, kullanılan pek çok bulgunun, özelliğin ortak rezümesi veya imbikten geçirilerek elde edilen özsuyu gibidir. Örneğin bir Banach cebri için kanıtlanan bir teorem gerçekte birçok matris diferansiyel veya integral denklem probleminde gereksinim duyulan has değer (eigen-value) özelliklerini hepsi için geçerli olacak en genel biçimde verir. Fakat burada çok ilginç diğer bir gelişme de izlenir. Matematikçiler bir süre sonra hangi bilinen sonuçlar kümesinin imbikten geçirilmiş şekli olduğuna dikkat etmeksizin yeni bulgular elde etmeğe başlarlar, diğer bir deyişle bu soyut yapıların salt kendi kuralları içinde yollarına devam ederler. Aksiyomlar ve tanımlarla yapay olarak kurulan çatı bunlardan zorunlu olarak elde edilebilen birçok sonuç ve bulguyu da beraberinde getirir. Genelde de geriye dönülüp bunların uygulamaya yönelik yorumları olup olmadığı kaygısı taşınmaz. Böylece yukarıda sözü edilen sarmal gelişim ortaya çıkar. Diğer bir deyişle Russell’ın duru, heykelimsi estetiğine sahip soyut matematiksel yapı eğer büyük bir matematikçinin elinden çıkmazsa ‘Fındıkkıran’ kalesindeki tılsımlı oyuncaklar örneği canlanır. Artık matematikçi kendisini yine başlardaki edilgen konumunda bulur. Kendi kurduğu fakat canlanan yapı karşısında yeniden bir fizikçi veya biyolog gibi gözlemlerde bulunmak, keşifler yapmak zorundadır. Belki matematikteki gerçek güzelliği de bu çok girift, sarmal gelişim ortamında izlenen yol belirler.

KAYNAKÇA

1) Bertrand Russell: The Study of Mathematics in Mysticism and Logic, Doubleday & Company Inc. (1960), pp.55-69.

2) Beauty in Mathematics, Mathematical Intelligencer, Vol. 10, no. 4, (1988), pp. 31.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1992 yılı III. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Umut Gür‘e ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar

Cem Tezer: Nevi Şahsına Münhasır Bir Matematikçi

Yazar: Alp Eden Yıl: 2022-1 Sayı: 111 Ne kendi kimseye benzer, ne kimse kendisineHezar gıpta o devr-i kadim efendisine Cem Tezer çok yönlü ve çok renkli kişiliği olan...

1/3 Sayı Doğrusunda Tam Olarak Nerede?

Yazar: Burak Karabey (burakkarabey@gmail.com) Sayı: 111, 2022-1 Sayıların sayı doğrusundaki yerini bulma çalışmaları, öğrenciler açısından birçok matematiksel bilgi ve beceriyi birlikte kullanmak için iyi bir fırsattır....

Kumarbazın Sonu

Yazar: Ümit Işlak (umitislak@gmail.com) Sayı: 111, 2022-1 Bir yatırımcıda şu anki değeri 25 lira olan bir hisse senedi olduğunu varsayalım.  Yatırımcımız hisseyi hissenin değeri ya 10...