Bieberbach Sanısına Giriş

    0
    64
    Asuman Güven Aksoy, Department of Mathematical Sciences, Claremont McKenna College, Claremont, CA, 91711, USA, aaksoy@cmc.edu

    Klasik analizin matematikçilerini  $70$ yıldır uğraştıran en ünlü sanılardan biri Bieberbach Sanısıdır (BS).  Bu, Alman matematikçi Ludwig Bieberbach’ın $1916$ yılında yazdığı bir makalenin dip notunda ortaya  çıkmış  [1] ve $1984$ yılında Purdue üniversitesi’nden Louis de Branges tarafindan çözülmüştür [2].

    Bieberbach sanısının matematikçiler için  çekiliciği bir yandan basit olarak tanımlanabilmesi öte yandan makul sınırlamalar altında kuvvet serilerindeki terimlerin katsayılarının büyük olmamasından ileri gelir. Bieberbach sanısı hem holomorfik hem de yalınkat fonksiyonlarla ilintilidir. Birebir holomorfik  fonksiyonlara yalınkat ismi verilir. (Birebir  demek  $ z_1=z_2$ eşitliği olmadığı sürece $f(z_1) \neq f(z_2)$.)  Yalınkat fonksiyonların bir çok özelliği vardır [3],  dolayısıyla  onların Taylor açılımlarındaki terimlerin katsıyaları hakkında birşeyler  söylenebilir mi sorusunu da sormak  normaldir. Dikkat edilirse,   $f(0)=0$ ve $f'(0)=1$ olarak alındığında, $f$’in Taylor serisi $$f(z)= z+a_2z^2+a_3z^3+ \cdots $$ formunu alır,  burada  $a_2, a_3, \dots$ kompleks katsayılardır.  Bu yazıda, $f(0)=0$ ve $f'(0)=1$ normalizasyon koşullarını  sağlayan  yalınkat  fonksiyonların $f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}$   sınıfını  ifade etmek için S (schlicht)  sembolünü kullanıyoruz.

    Bieberbach Sanısı: Her bir  $f\in S$ ve $n=2,3,\dots$ için   $$ |a_n| \leq n $$ eşitsizliği doğrudur. Bütün $n$-ler için, fonksiyon $f$, Koebe fonksiyonu  $k(z)$’nin bir dönmesi olmadığı sürece bu eşitsizlik  keskindir, yani $|a_n| < n$’dir. Burada Koebe fonksiyonu: $$k(z)=\sum_{n=1}^{\infty} nz^n = z+2z^2 +3z^3+\cdots$$ kuvvet serisiyle ifade edilen fonksiyondur.

    Bieberbach’ın orjinal makalesindeki temel sonuç ikinci katsayı teoremidir, yani  $|a_2| \leq 2$ ve eşitlik Koebe fonksiyonu için sağlanmaktadır.

    Louis  de Branges’ın  $|a_n | \leq n$ genel kanıtından önce Bieberbach sanısı yalnızca   $n \leq 6$ için kanıtlanmıştı.  Sanı üstüne çeşitli  kitap ve makaleler yazılmış olup okuyucuyu daha fazla bilgi için [4, 6]  kaynaklarına yönlendiriyoruz.

    Sanıda sözü geçen Koebe fonksiyonu  $k(z)$’yi daha yakından inceliyelim:

    $$ k(z) = \frac{z}{(1-z)^2}= z. \frac{d}{dz}\left[\frac{1}{(1-z)}\right]= z+2z^2 +3z^3+\dots $$

    şeklinde de yazılabilir ve  birim disk $|z|< 1$’de yaşayan her   $z$  için yakınsar.  $k(z)$’nin neden diskte  yalınkat olduğunu anlamak ve onun görüntüsünü bulmak için  $k(z)$’nin şu haline bakınız:

    $$ k(z) =\frac{1}{4}\left[\left( \frac{1+z}{1-z}\right )^2-1\right ]. $$

     Bu ifadeden $k(z)$’nin aşağıda verilen  dönüşümlerin bileşkesi  olduğu görülmektedir.

     $$ p= \frac{1+z}{1-z},\qquad  q= p^2, \qquad w=\frac{1}{4} (q-1)$$

    $p$ birim diskini yalınkat olarak $p$-düzleminin  sağ yarı-düzleme götüren doğrusal kesirli dönüşümdür.   $q=p^2$ ise sağ yarı-düzlemle kısıtlanınca  birebir  bir fonksiyondur ve görüntüsünü de  bütün $q$-düzleminden negatif olmayan reel ekseni  çıkartırsak elde ederiz. Son fonksiyon $w$  ise aşağıda görüldüğü gibi, önce bir öteleme, sonra da $\displaystyle \frac{1}{4}$  çarpanıyla genleşen bir dönüşümdür. 

    Şimdi  $\alpha$ bir reel sayı  olsun ve  fonksiyon $f $,   $f(0)=0, \,\, f'(0)=1$ şartlarını sağlasın. Bu durumda  fonksiyon,  $$g(z)= e^{-i \alpha} f(e^{i\alpha}z)$$ $f$’nin  saat hareketinin tersine  $z=0$ merkezli, $\alpha$ radyan açılı bir dönmesini ifade eder.

    Bunların kuvvet serilerini, $$ f(z)= z+\sum_{n=2}^{\infty} a_nz^n\quad \mbox{böylece}, \quad g(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} b_nz^n$$ olarak yazabiliriz.

    Yukarda  $g(z)$’deki katsayı  $b_n= a_n e^{i (n-1)\alpha}$  olduğu için  $$|b_n|= |a_n||e^{i (n-1)\alpha}|=|a_n|\quad\mbox{olur}.$$

    Buradan da fonksiyonlar ailesinin, $$k_\lambda(z): \frac{z}{(1-\lambda z)^2}=\sum _{n=1}^{\infty} n\epsilon^{n-1}z^n\quad (\lambda\,\,\,  \mbox{ bir sabit ve }\,\,\, |\lambda| =1 ) $$ bütün $n$’ler  için  $|a_n|=n$ eşitsizliğini sağladığı görülür.

    Aşağıdaki  örnekte,  fonksiyon $f(z)$  $n$-dereceli bir polinom ve $|a_n|$’ye belli bir üst sınır bulmak istiyoruz.

    Örnek: Elimizde,  $$f(z)= z+a_2z^2+a_3z^3 + \cdots+a_nz^n$$ gibi  bir polinom varsa, üstelik  $f$  yalınkatsa  birim disk $D(0 ;1)$ üstünde, $|a_n| \leq \displaystyle \frac{1}{n}$ sonucuna varabiliriz.

    Bunu görebilmek için  $f$’nin türevini,  $$f'(z)= 1+2a_2z+\cdots+ na_nz^{n-1}= na_n ( \frac{1}{na_n}+ \cdots+ z^{n-1})$$ göz  önüne alalım. Sonra cebirin temel teoremini kullanarak yukardaki  polinomu  çarpanlarına ayırırsak, $$f'(z)= na_n (z-c_1)(z-c_2)\cdots (z-c_{n-1})$$ elde edeceğiz. Burada  $c_1,c_2, \dots, c_{n-1}$  ile  kompleks  kökleri gösteriyoruz. Gelgelelim, $f$,  $D(0 ;1)$’de yalınkat , $f'(z)$’nin  $D(0;1)$’de  kökleri yok ve dolayısıyla bütün $k$’ler için   $|c_k| > 1$’dir.  Ayrıca $f'(0)=1$ olduğundan, $$ 1=|f'(0)|=|na_n||c_1||c_2|\cdots |c_{n-1}|\geq |na_n|$$ iddia edildiği gibi $|a_n|\leq \displaystyle\frac{1}{n}$’dir.

    Yalınkat fonksiyonların en önemli  özelliği,  ünlü Riemann tasvir teoremidir.  Diyelim ki $G$ açık bir küme, eğer $f$, $G$’nin  üstünde, hem holomorfik hem de birebirse, bu  $f$’nin conform bir tasvir olduğunu, yani açıları koruduğunu ima eder.  Diyelim ki  $f$ sınırları karmakarışık bir bölgeden “medeni” bir kümeye örneğin $D(0;1)$’e  giden bir tasvir olsun. Böyle bir tasviri bulabileceğimizi nereden biliyoruz? Bu sorunun yanıtını Riemann  vermiştir:

    Riemann Tasvir Teoremi: Diyelim ki $G$ basit bağlantılı (içinde delikler olmayan) bir  bölge  ve $G\neq \mathbb{C}$ olsun. Bu durumda konform ve  birebir   $f: G \to D(0;1)$ bir  tasvir vardır,  üstelik   $f^{-1}: D(0;1) \to G$ de  konform bir tasvirdir.

    Riemann tasvir teoremi çok önemlidir, bu  bir varlık teoremidir ama  $f$  için bir “formül” vermez,  kuramsal olarak kapıları açar ve  $f$’nin analitik özellikleriyle, $f(G)$’nin geomerik özelliklerini bağlar, bize $D(0;1)$ gibi bir kümede yer açar [5].  (BS) için L. de Branges kanıtı bulana kadar geometrik fonksiyonlar teorisinin ana probleminin (BS) olmasının sebebi de Riemann tasvir teoremi’nin sağladığı bu bağlantıdır.

    Bieberbach’ın Alan Teoremi:

    Bieberbach sanısı,  aşağıda verilen alan teoreminin kanıtlanmasından sonra postule edilmiştir. Bieberbach türü eşitsiz-likleri elde etmenin temel yolu kuvvet serileri katsayılarını düzlemdeki herhangi bir bölgenin alanıyla bağlantılandırmaktır.  Diyelim ki  $\mathcal{U}$   holomorfik ve  $\Sigma =\{ z:  |z|>1\}$’da yalınkat olan ve de Laurent açılımları,

     $$ g(z)= z+ b_0+\frac{b_1}{z}+\cdots= z+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{z^n}$$

     şeklinde olan fonksiyonlar sınıfını temsil etsin.

    Teorem: $g(z)\in \mathcal{U}$ fonksiyonları için  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n|b_n|^2 \leq 1$ sağlanır.

    Kanıt: $g(\Sigma)$ kümesinin  tümleyenine  $R = \mathbb{C}\setminus g(\Sigma)$  diyelim. Burada amacımız  $R$’nin alanını  $b_n$ cinsinden hesaplamak.  Daha iyi açıklamak gerekirse $R(r)= \mathbb{C}\setminus \{g(z): |z|>r\}$ yapıp, $R(r)$’ın sınırını da  $\gamma(r)$ ile gösterirsek, bu basit ve kapalı  eğrinin  $\gamma(r)$’nın  sınırladığı alanı  bulmak istiyoruz. Sonrasında $$ \mbox{alan}\, R =\lim_{r\to 1^+} \,\mbox{alan}\, R(r).$$

    $g(z)= u+iv=w$ olsun,  açıkca,  $du\,dv=\displaystyle  \frac{1}{2i} d\bar{w} \,dw$ olduğu için, $$ \mbox{alan}\, R(r) =\displaystyle \iint_{R(r)} du\,dv =   \frac{1}{2i} \iint_{R(r)} d\overline{w}\,dw.$$

    Şimdi  Green’in teoremini kullanarak şunu yazabiliriz:

     $$  \mbox{alan}\, R(r) =  \frac{1}{2i} \int_{\gamma (r)} \overline{w}\, dw= \frac{1}{2i} \int_{|z|=r} \overline{g(z)} g'(z) \,dz.$$

    Bundan sonra  $ z=r e^{it}$, $dz=ir e^{it}dt $  ile parametrize edersek son integrali, $$  \mbox{alan}\, R(r) =  \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} re^{it} g'(re^{it}) \overline{g(re^{it})} dt $$  şeklinde yazabiliriz. Ardından  $g$ ve $g’$ nün  kuvvet serilerinden yola çıkarak, $$\frac{1}{\pi} \mbox{alan}\, R(r) =  \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left(re^{it}+\sum_{n=1}^{\infty} nb_n r^{-n} e^{-int}\right) \left( re^{-it} + \sum _{n=0}^{\infty} \overline{b_n} r^{-n} e^{int}\right) dt $$ elde ederiz.

    En son terimi de   $e^{it}$ nin farklı  kuvvetlerinin dik olmasını kullanarak basitleştirip, $$ \frac{1}{\pi} \mbox{alan}\, R(r) =  r^2-\sum_{n=1}^{\infty} r^{-2n} \, n \, |b_n|^2$$ elde edilir. $\mbox{Alan}\, R(r) \geq 0$  olduğu göz önüne alınarak, her $m> 0$ için kısmi toplam,  $\displaystyle\sum_{n=1}^{m} r^{-2n}\, n \, |b_n|^2 \leq r^2 $ olur ve de   $r \to 1^{+}$ durumunda, $ m=1,2,\dots$  için bize  $\displaystyle\sum_{n=1}^{m} n|b_n|^2 \leq 1$   eşitsizliğini verir.

    $\square$

    Bu teorem (BS) ile ilgili bir çok  teorem  için yararlı olan aşağıdaki sonucu da  verir.

    Sonuç: Eğer  $g(z)\in \mathcal{U}$ ise,  $|b_1| \leq 1$ olur.  Eşitlik için gerekli ve yeterli koşul $g$’nin $$ g(z) =z+b_0+\frac{b_1}{z}\quad \quad( |b_1|=1)$$ biçiminde olmasıdır.

    Koebe $\frac{1}{4}$-teoremi:

    Bieberbach sanısında $n=2$ için ortaya konmuş, tanınmış bir başka teorem  Koebe $\frac{1}{4}$-teoremi olarak bilinir.  Bu teoreme göre, bir yalınkat fonksiyon  $f$,  $f(0)=0$ ve  $f'(0)=1$ normalizasyon koşulları  sağlıyorsa, bu fonksiyon  aynı zamanda, $$D(0 ;\displaystyle \frac{1}{4}) \subseteq f \left( D(0 ; 1)\right)$$ içermesini de sağlar. Eşitlik için gerek ve yeter koşul  $f$’nin Koebe fonksiyonunun bir dönmesi olmasıdır.  Bir başka deyişle, her $f\in S$ için, $ f \left( D(0 ; 1)\right)$, merkezi orijinde olan bir disk  ihtiva eder. Ta $1907$’de Koebe  $ r \leq  \frac{1}{4}$ sanısını ortaya atmıştı; $1916$’da Bieberbach bu sabitin daha fazla geliştirilemeyeceğini kanıtlamıştı.

    Not: (BS)’nin kanıtlanması yolundaki gelişmeleri şöyle guruplayabiliriz:

    • Belli bir $n$ için  $|a_n| \leq n$
    • $S$’nin bir alt sınıfı  için   $|a_n | \leq n$
    • Yeterince büyük bir $C$   için   $|a_n| \leq C n$.

    İlk gurupta elde edilen bir sonuç K. Loewner’in geliştirdiği üçüncü  katsayı  $|a_3| \leq 3$ teoremidir. Kısmi türevli diferansiyel denklem yöntemini kullanan Loewner’in kanıtı Bieberbach’ın ikinci katsayı  teoreminden  farklıdır ki  bu yöntem de Branges’a genel sanı kanıtlanmasında çok yararlı olmuştur. Bieberbach sanısı  $S$’nin bazı alt  sınıf fonksiyonları için de kanıtlanmıştır. örneğin “yıldız benzeri”    veya “reel katsayılı”  fonksiyonlardan oluşan altsınıfları gibi [3].  (BS)’nin çözümündeki  görülen zorluklara bir delil olarak güçlü bir analiz aracı olan Cauchy eşitsizliğini kullansak bile  [6]-da  gösterildiği gibi  $f\in S$  için ancak, $$|a_n| \leq  \frac{e^2}{4 }n^2 \, \quad n=2,3,… $$ sonucuna varılır.

    Üçüncü gurup  sonuçlara bir örnek olarak aşağıda Littlewood’un bir çalışmasını veriyoruz.

    Littlewood Teoremi:

    $1925$’te  Littlewood farklı fakat daha gevşek  bir üst sınırı $|a_n|$’ler için bulmuştur. Bieberbach her katsayının üstten kendi indeksiyle sınırlı  olduğu sanısını ortaya atmışken, yani   $|a_n| \leq  n$  derken, Littlewood bunu her $n$ için   $|a_n| \leq  e.\,n$ olarak kanıtlamıştır.

    Teorem: Eğer $f(z)\in S$ ise, bütün  $n \geq 2$  için $|a_n| < e.\,n$’dir.

    Kanıt: Bu kanıt Littlewood’un integral eşitsizliğine [3] dayanır. Bu $f\in S$  için, $$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |f(re^{i\theta}| d\theta \leq \frac{r}{1-r} \quad 0\leq r <1$$  şeklinde ifade edilir.

    Cauchy’nin integral formülünü kullanarak, $$ |a_n| = \left |\frac{f^{(n)} (0)}{n!}\right |=\left | \frac{1}{2\pi}\int_{|z| =r} \frac{f(z)}{z^{n+1}} \,\,dz\right|, \quad\quad  r<1$$ yazabiliriz. Sonra da $z=re^{i\theta}$ alıp ve  Littlewood’un integral eşitsizliği kullanırsak, $$ |a_n| = \left | \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{f(re^{i\theta})}{r^n. e^{in \theta}} \,\,dz\right | \leq  \frac{1}{2\pi r^n}\int_{0}^{2\pi}\left| f(re^{i\theta})\right| d\theta \leq  \frac{1}{r^n}\frac{r}{1-r}$$ olur ve

    $$|a_n| \leq  \displaystyle\frac{1}{(1-r) r^{n-1}} $$

    eşitsizliği elde edilir. $|a_n|$’nin minimumunu bulmak için  $ h(r)=(1-r) r^{n-1}$ fonksiyonunu  $[0,1]$’de maksimize etmek lazımdır. Bu nedenle, $$h'(r)= r^{n-2} ( (n-1)(1-r) -r)$$ bakarsak,  maksimumun   $r= 1-\displaystyle \frac{1}{n}$ olduğunda gerçekleştiğini  görürüz. Dolayısıyla

    $$ |a_n| \leq \frac{1}{(1-r) r^{n-1}}=  n {\left( \frac{n}{n-1}\right)}^{n-1} < e.n $$ elde edilir.

    Sonuç: Bu makalede yalınkat fonksiyonlar ve schlicht $S$ sınıfı fonksiyonlarında yalnızca lisans seviyesinde analiz  bilgileri kullanılarak birkaç temel sonuç kanıtladık. şu hususu iyi anlamak gerek: on yıllarca çözüm  bulmayı bekleyen Bieberbach sanısı, matematikçilere yalınkat fonksiyonlarla ilgili bir hayli sonuca ulaşılması yolunu açmıştır.

    Hatta  yalınkat fonksiyonlar teorisi, $S$ ve onun alt sınıfıyla ilgili çalışmalardan doğmuştur. Bu nedenle  Bieberbach sanısının önemi yalnızca kucakladığı  çözümlerde değil, onu çözebilmek için geliştirilen teorilerde yatmaktadır.

    Kaynaklar

    [1] Bieberbach, L.,  Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften, (1916), 940-955.

    [2] Branges, de L., A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math., $154$, (1985), 137-152.

    [3] Duren, P. L., Univalent functions, Springer-Verlag, New York, 1983.

    [4] Gong, S., The Bieberbach conjecture, Studies in Advanced Mathematics, 12, American Mathematical Society and International Press, (1999).

    [5] Priestly, H. A., Introduction to Complex Analysis, (second edition), Oxford University Press, 2003.

    [6] Zorn, P., The Bieberbach conjecture, A famous unsolved problem and the story of de Branges’ surprising proof, Mathematics Magazine, 59, No. 3, (1986).