Bir Eşitsizlik Üzerine

    0
    44

    İ. Ferit Öktem

    Bu yazımızda

    \begin{equation}\label{1} P_n = \prod_{k=1}^n \Big( 1 – \frac{1}{2k}\Big) \hspace{2cm} (1)\end{equation}

    çarpımının (Bkz. Matematik Dünyası C:1, S:1, A5)

    \[\frac{1}{\sqrt{\pi(n + \frac{1}{2})}} < P_n < \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\hspace{2cm} (2)\]

    eşitsizliğini sağladığını göstermek istiyoruz.

    Önce

    \[\prod_{k = 1}^n (2k -1) = (2n – 1)!!, \prod_{k=1}^n (2k) = (2n)!!\hspace{2cm} (3)\]

    tanımlarını kullanarak

    \[P_n = \frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!}\hspace{2cm} (4)\]

    yazabiliriz. Şimdi, \(n\) negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere,

    \[I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\, dx \hspace{2cm} (5)\]

    integralini gözönüne alalım:

    \[I_0 = \frac{\pi}{2},\,\, I_1 = 1,\,\, I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\,\,\,\, (n>1)\hspace{2cm} (6)\]

    bağıntılarından $n\ge 1$ için

    \[I_{2n – 1} = \frac{1}{2n}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}, \;\; I_{2n} = \frac{\pi}{2}\frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!},\]

    \[I_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\hspace{2cm} (7)\]

    olur. Öte yandan

    \[ \sin^{2n +1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n -1}x \;\; (0 < x < \frac{\pi}{2}) \hspace{2cm} (8) \]

    ve (5) ten dolayı

    \[ I_{2n +1} < I_{2n}< I_{2n – 1} \hspace{2cm} (9)\]

    eşitsizlikleri geçerlidir. Böylece (4), (7) ve (9) sonucu

    \[ \frac{1}{(2n+1)P_n} < \frac{\pi}{2}P_n < \frac{1}{2nP_n}\hspace{2cm} (10) \]

    bulunur. (10) un her yanını $\frac{2}{\pi}P_n$ ile çarptıktan sonra karekök alınırsa (2) eşitsizlikleri elde edilir.

    Bu eşitsizliklerin bir sonucu olarak

    \[ P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi(n+\theta_n)}},\;\; 0 < \theta_n < \frac{1}{2} \hspace{2cm} (11)\]

    koşullarını sağlayan bir $\theta_n$ sayısının varlığı ve

    \[\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\hspace{2cm} (12)\]

    bağıntısı (Wallis formülü) de ispatlanabilir.