Bölünebilmede yeni yöntemler

    0
    78

    Fahrettin Akbulut

    Bilindiği gibi, $a$ ve $b$ tamsayıları için $a = kb$ olacak biçimde bir $k$ tamsayısı bulabiliyorsak $a$ sayısı $b$ ile bölünebilir ya da $b$ sayısı $a$’yı böler diyor ve $b|a$ yazıyoruz. $a$ ile $b$ nin pozitif ortak bölenlerinin en büyüğünü (OBEB’ini) $(a, b)$ ile gösteriyor ve $(a, b)$  ise yani $a$ ile $b$ nin $1$ den başka pozitif ortak böleni yoksa $a$ ile $b$ aralarında asaldır diyoruz.

    Herkesçe bilinen şu iki temel özelliği anımsayalım:

    • Üç tane $a, b, a + b$ (ya da $a – b$) tamsayısından herhangi ikisi bir $c$ tamsayısı ile bölünebilirse üçüncü de bölünür.
    • $c | ab$ ve $(c, a) = 1$ ise $c | b$ dir.

    Bu iki basit özellikten bir $A$ tamsayısının $2$’nin ya da $5$’in katı olmayan (yani $10$ ile aralarında asal olan) bir $b$ tamsayısı ile bölünüp bölünemediğini araştırmada kullanılabilecek bir yöntem çıkarmak istiyoruz. Şöyle ki $10$ ile aralarında asal olan bu $b$ sayısının son rakamı $1, 3, 7, 9$’dan biri olacaktır. Bu $b$ sayısını $1, 3, 7, 9$ ile çarptığımızda ortaya çıkacak sayılardan birinin son rakamı $1$ birinin de $9$ olur; yani bu $kb$ biçimindeki sayılardan biri $10m + 1$ bir başkası $10m – 1$ biçimindedir. Sözgelimi $b = 37$ için $3b = 111 = 10 \times 11 + 1$ ve $7b = 259 = 10 \times 26 – 1$ dir. Bu bizi şu teoreme götürür: 

    Teorem. $x, y, k, m$ ve $b$ herhangi tamsayılar olduğuna göre $$A = 10x + y, kb = 10m + 1\;\; ise\;\; b|A \leftrightarrow b|x-my;$$ $$A = 10x + y, kb = 10m -1\;\; ise \;\; b|A \leftrightarrow b|x+my$$ olur.

    İspat. Bu sonucu ispatlamak için $kb = 10m + 1$ olduğunda

    $$\begin{eqnarray*}A &=& 10 x + y = 10x + y – kby + kby\\ &=& 10x+y -(10m + 1)y + kby\\ &=& 10(x – my) + kby\end{eqnarray*}$$

    olduğu için $b$ sayısı $A, 10(x – my), kby$ tamsayılarından ikisini bölerse üçüncüsünü de böler yani

    $$b|A  \leftrightarrow b|10(x – my)$$

    dir. Oysa $(b, 10) = 1$ olduğu için $$b|A \leftrightarrow b|10(x – my)$$ sonucu elde edilir. 

    $kb = 10m – 1$ durumu için de aynı ispat tekrarlanabilir ya da değişiklik olsun diye $kb = 10m – 1$ ise

    $ k(-m) = 10(-m) + 1$ olur ve dolayısıyla $$b|A \leftrightarrow -b|A \leftrightarrow b|x + (-m)y$$

    elde edilir diyebiliriz. Böylece bölünebilmeye ilişkin yeni iki kural elde etmiş olduk:

    $b$’nin bir tam katı $10m + 1$ ise $b|10x + y$ demek $b|x + my$ demektir.

    $b$’nin bir tam katı $10m – 1$ ise $b|10x + y$ demek $b|x + my$ demektir. Burada $y$ bölünecek sayının birler basamağı $x$ ise bu basamak atıldığı zaman kalan sayıdır.

    Şimdi örneklerle bu kuralların kullanılışını görelim:

    Örnek 1. $441$ sayısı $7$ ile bölünür mü? 

    Çözüm 1.

    $$441 = 10\cdot 44 + 1, 3\cdot 7 = 10\cdot 2+ 1\;\; den\;\; x = 44, y = 1, m = 2$$

    yani $x – my =  44 – 2$ olup $7|441 \leftrightarrow 7|44- 2 = 42$ çıkar ve $7|441$ olduğu görülür.

    Çözüm 2.

    $$441 = 10\cdot 44 + 1, 7\cdot 7 = 10\cdot 5 – 1\;\; den\;\; x = 44, y = 1, m = 5$$

    ve $x + my =  44 + 5\cdot 1 =  49$ elde edilir ve $7|49$ olduğundan $7|441$ çıkar.

    Örnek 2. $2871$ sayısı $11, 13, 17$ ve $29$’dan hangileri ile bölünür?

    Çözüm. Bölen sayıların katlarını $10m + 1$ ya da $10m – 1$ biçiminde yazacak olursak

    $$\begin{eqnarray*}11 &=& 10\cdot 1 + 1\\ 3\cdot 13 &=&10\cdot 4 – 1\\ 3\cdot 17 &=& 10\cdot 5 + 1\\  29 &=& 10\cdot 3 – 1\end{eqnarray*}$$ 

    olur. Demek ki, $x \pm my$ ler

    $$\begin{eqnarray*} 11\;\;\; &için&\;\;\; x – my = x – y\\ 13\;\;\; &için&\;\;\; x + my = x + 4y\\ 17\;\;\; &için&\;\;\; x – my = x – 5y\\ 29\;\;\; &için&\;\;\; x + my = x + 3yy\end{eqnarray*}$$

    olmaktadır. Böylece

    $$\begin{eqnarray*}11|2871\leftrightarrow 11|287 – 1 = 286\leftrightarrow 11| 28 – 6 = 22\;\;\; den \;\;\; 11|2871;\\13|2871\leftrightarrow 13|287 + 4 = 291\leftrightarrow 13| 29 + 4 = 33\;\;\; den \;\;\; 13\nmid 2871;\\17|2871\leftrightarrow 17|287 – 5 = 282\leftrightarrow 17| 28 – 10 = 18\;\;\; den \;\;\; 17\nmid 2871;\\29|2871\leftrightarrow 29|287 + 3 = 290\leftrightarrow 29| 29 + 0 = 29\;\;\; dan\;\;\; 29|2871;\end{eqnarray*}$$

    sonuçları elde edilir.

    Son olarak okuyucuya kolaylık sağlaması için aşağıdaki çizelgeyi veriyoruz

    $A = 10x + y$
    $p = 10m + 1$$q = 10m\, -\, 1$
    11$x\, -\, y$9, 3$x + y$
    21, 3, 7$x \, -\, 2y$19$x + 2y$
    31$x \, -\, 3y$29$x + 3y$
    41$x \, -\, 4y$39, 3, 13$x + 4y$
    51, 3, 17$x \, -\, 5y$49, 7$x + 5y$
    61$x \, -\, 6y$59$x + 6y$
    71$x \, -\, 7y$69, 3, 23$x + 7y$
    81, 3, 9$x \, -\, 8y$79$x + 8y$
    91, 7, 13$x \, -\, 9y$89$x + 9y$

    Alıştırmalar: 

    1) $4418$ sayısının $13, 19, 37$ sayılarından hangileriyle bölünebildiğini araştırınız.

    2) $kb = 10m + 1$ durumundaki yolu izleyerek

    $$ A = 10x + y, kb = 10m – 1\;\;\; ise\;\;\; b|A \leftrightarrow  b|x + my $$

    önermesini ispatlayınız.

    3) $$ A = 10 x + y, kb = 10m + 3 \;\;\; ise\;\;\; b|A \leftrightarrow b|x+ (3m + 1)y $$

    önermesini ispatlayınız.