Fields Ödüllü Peter Scholze

    0
    56
    Alp Eden, alp.eden5@gmail.com

    Eğitimi

    Peter Scholze 1987 yılında Doğu Almanya’nın Dresden şehrinde doğuyor. Çocuk deha liseyi Berlin’de okuyor. 2004-2007 yılları arasında Matematik Olimpiyatları’nda altın madalyaları ve bir de gümüş madalyası var.

    Uluslararası Matematik Olimpiyatları’nın resmi sayfasında Peter Scholze’nin gençlik resmine de ulaşabiliyorsunuz, pek değişmemiş [1]! Scholze, Matematik Olimpiyatları’ndaki başarılarla iyi bir akademik kariyer yapma arasında ilişki kurmak isteyenlere güzel de bir örnek oluyor.

    Doktorasını Bonn Üniversitesi’nde 2012 yılında tamamlıyor. Tezinin başlığı “Perfectoid Spaces”, Türkçeye “nerdeyse mükemmel uzaylar” diye çevrilebilir [2].

    Geliştirmekte olduğu bu yeni bakış açısı, onun sayılar teorisi, cebrik geometri ve aritmetik geometri alanlarına kuşbakışı bakmasını sağlıyor ve bazı çözülmemiş problemlere kısmi, bazılarına da tam çözümler üretiyor.


    Peter Scholze ICM 2018’de

    Bonn Üniversitesi’nde doktora tez hocası Michael Rapoport olmuş. Rapoport’un da doktora tez hocası 1978 Fields Ödülü sahibi Pierre René Deligne. Fields Ödülü sahibi bir matematikçinin akademik torunu yani Peter Scholze. Deligne ile ilişkisi bu akademik akrabalıkla sınırlı kalmıyor, onun sorduğu bazı açık sorulara da kısmi çözümler getiriyor. Bu arada Bonn Üniversitesi’nde bir başka Fields Ödüllü (1986) matematikçi Gerd Faltings ile aynı ortamları paylaşıyor. Peter Scholze, Faltings’in bazı neticelerine de hem yeni hem de daha geniş kapsamlı yaklaşımlar üretiyor.

    ICM 2014: Mükemmel Uzayları tanıtan bir makale

    Seul’da 2014 yılında toplanan Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde (ICM) Scholze, “Nerdeyse Mükemmel Uzaylar ve Uygulamaları” başlıklı bir çağrılı konuşma veriyor. Bu konuşma aynı zamanda “nerdeyse mükemmel uzayların” bir savunması görevini görüyor. 2018 yılına gelindiğinde Peter Scholze’nin geliştirdiği birçok fikrin başlangıcını ve temel uygulama alanlarını o konuşmanın metninde bulmak mümkün.

    Scholze’nin ICM 2014’te sunduğu konuşmadan ürettiği tanıtım yazısına dönelim [3]. Yazı birçok ufak alt bölümden oluşuyor. İlk olarak “nerdeyse mükemmel uzaylar” Fontaine-Wintenberger’in yaklaşımının bir genelleştirilmesi olarak sunuluyor [4].

    Mükemmel uzayları tanımlarken Arşimet özelliğine sahip olmayan uzaylarla uğraşabilmek için Hüber’in adik-uzayları fikrini kullanıyor [5].

    Nerdeyse mükemmel uzayları tanımladıktan sonra Scholze’nin verdiği ilk uygulama Faltings’in nerdeyse saf teoreminin (almost purity theorem) kapsamını genişletmek oluyor.

    İkinci uygulamasıysa Deligne’nin bir ispatının kapsama alanını genişletmek oluyor. Bu aşamada tam olarak genelleştiremediğini kendisi de itiraf ediyor. 2018 yılında, Field Ödülü’ne layık görüldüğünde de henüz bu tahmin tam olarak ispatlanmış değildi [6].

    Deligne 1974 yılında Weil’in üç savının ispatını veriyor. 1978 yılında Fields Ödülü almasında bu neticelerin önemli bir rolü oluyor. Peter Scholze’nin de Deligne’nin yolundan gitmeye çalışması bu açıdan da değerlendirilebilir. Deligne hakkında daha detaylı bilgiye [7]’deki bağlantıyla ulaşabilirsiniz.

    Scholze tanıtım makalesinde başka uygulamalardan da söz ediyor, bunlardan sadece birinden bahsedeceğiz: Rapoport-Zink tahmini. Bu tahmin 1982 yılında ortaya konuluyor [8]. Scholze ile eş zamanlı olarak Kedlaya ve Liu da bu tahmini ispatlıyorlar [9].

    Mori, Scholze ve Mozchizuki

    Shinichi Mochizuki tanınmış bir Japon matematikçi, Faltings’in Princeton Üniversitesi’nden doktora öğrencisi (1992), “abc sanısı” diye bilinen bir sanıyı ispat ettiğini iddia ediyor. Ama ispatını okuyabilmek için ilkönce 500 sayfalık hazırlık bilgisini hazmetmek gerekiyor. Genç Scholze daha 24 yaşındayken bu kavramsal labirentte hızla yol almayı başarmış ve anlamadığı bir noktaya takılmış. Daha sonraları bu boşluk/aralık başka matematikçiler tarafından da dile getirilmeye başlanmış. Sonunda Scholze bu noktaları açıklığa kavuşturabilmek için Japonya’ya Mochizuki ile görüşmek üzere gitmiş. Hikâye burada daha da ilginçleşiyor; bu görüşmeyi ayarlayan matematikçi Shigefumi Mori de Fields Ödüllü (1990) bir matematikçi, aynı zamanda 2018 Fields Ödüllerini verecek olan komitenin de başkanı. Dünya ne kadar küçük değil mi? Belli ki bu görüşme öncesinde Mori Scholze’nin çalışmalarını iyi biliyor. Mochizuki’nin makalesi artık yayınlanmış olsa da olay hala tam açıklığa kavuşmuş değil.

    Genç Scholze tecrübeli Mochizuki’ ye karşı “Titanların Savaşı” olarak nitelendiriliyor bu durum [10]. Scholze’nin “Nerdeyse Mükemmel Uzay”’larını bu yazıda tanımlamayı isterdim ama teknik olarak mümkün değil. Oğuz Şavk ve İlhan İkeda bir yazılarında, Allyn Jackson’ın yazmış olduğu tanıtım yazısından da yararlanarak konuyu basitçe ifade etmeye çalışıyorlar, ellerine sağlık! [11]

    Scholze ve Langlands programı

    Robert Langlands

    Scholze’nin çalışmaları Langlands programı adıyla bilinen bir çalışma alanına da katkıda bulunuyor [12].

    Langlands programı hakkında genel bilgi için İlhan İkeda’nın Saçak dergisindeki yazısına bakılabilir [13]. AMS Notices dergisinde çıkmış olan yazıya da bakılabilir [14].

    Langlands Türkçeyi seven ve Türkiye ile sıkı ilişkisi olan bir Matematikçi. 2018 yılında Abel Ödülü’nü alıyor ve ödülün bir kısmını Matematik Köyü’ne bağışlıyor.

    Sonuç

    Biraz toparlamaya çalışırsam Peter Scholze yazdığı doktora teziyle birçok probleme çözüm üretebilecek bir kavramsal yapının temel taşlarını koyuyor. Bu bakış açısıyla iki Fields Ödüllü matematikçi Deligne ve Faltings’in sorularına ve yaklaşımlarına ciddi katkılarda bulunuyor. Langlands programını çok daha başka bir platforma taşıyor ve matematikçileri çok zorlayan bir ispatta bir açık buluyor.

    Rio’da Scholze’ye matematiğin Jimi Hendrix’i deniyor, ben bir matematik şövalyesi demeyi tercih ederim. Fields Madalyası’nın en favori adayı olmuş olan genç Scholze’den matematik dünyası daha çok şeyler bekliyor, en önemli neticelerini henüz ispatlamadı diyorlar.

    Kaynakça:

    1) https://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=7867

    2) Scholze, Peter, Perfectoid spaces., Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012), 245–313.

    3) https://www.youtube.com/watch?v=82nhZ1KtcQs

    4) Fontaine, J.-M. and Wintenberger, J.-P., Extensions algébrique et corps des normes des extensions APF des corps locaux, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 288 (1979), no. 8, A441–A444.

    5) Hüber, R., Étale cohomology of rigid analytic varieties and adic spaces, Aspects of Mathematics E30, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1996.

    6) Deligne, P. La conjecture de Weil. II, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 52 (1980).

    7) http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Deligne.html

    8) Rapoport, M. and Zink, T., Über die lokale Zetafunktion von Shimuravarietäten. Monodromiefiltration und verschwindende Zyklen in ungleicher Charakteristik, Invent. Math. 68 (1982), no. 1, 21–101.

    9) Kedlaya, K. S. and Liu, R., Relative p-adic Hodge theory, I: Foundations, arXiv:1301.0792¸ Relative p-adic Hodge theory, II: (ϕ, Γ)-modules, arXiv:1301.0795.

    10) https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/

    11) https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/scholze-final.pdf

    http://haber.sol.org.tr/bilim/peter-scholze-fields-madalyasi-alan-en-genc-matematikcilerden-biri-244804

    12) Scholze, Peter, The local Langlands correspondence for GL n over p-adic fields. Invent. Math. 192 (2013), no. 3, 663–715.

    13) https://sarkac.org/2018/04/robert-langlands/

    14) https://www.ams.org/journals/notices/201806/rnoti-p663.pdf