Gerçel sayı nedir?

    0
    41

    Tuğrul Taner

    1. Ondalık Açılımlar

    Rasyonel sayılar, tamsayı çiftlerinin oranı olarak tanımlanır. Helenistik çağ matematikçileri de (pozitif gerçel) sayıları doğru parçalarının oranı olarak algılamışlardır. Buna göre eğer iki doğru parçası üçüncü bir doğru parçasının tam katları ise, bu iki doğru parçasının oranı hem bizim tanımımıza göre, hem de Helenistik anlamda bir rasyonel sayıdır.

    Öte yandan eğer iki doğru parçasını ölçebilecek ortak bir birim yoksa, bu iki doğru parçasının oranı rasyonel olmayan (yani irrasyonel) bir sayıdır. Nitekim ikizkenar bir dik üçgenin hipotenüsünün bir dik kenarına oranı olan \(\sqrt{2}\) sayısının rasyonel olmadığını antik çağ matematikçileri de ispatlamışlardır.

    Modern anlamda sayı kavramına Helenistik sayı kavramından başlayıp Arşimet özelliği denen bir özellikten yararlanarak ulaşmağa çalışacağız.

    Arşimet özelliği, bir \(a\) doğru parçasının başka herhangi bir \(b\) doğru parçasının yeteri kadar büyük bir tam katından küçük olduğunu ifade eder.

    Bu tam katların en küçüğüne \(q + 1\) dersek \(c = \frac{a}{b}\) için \begin{equation} bq \leq a < b (q + 1) \text{ yani } q \leq c < q + 1 \end{equation}

    Buradaki \(q\) sayısına \(c\) nin içindeki en büyük tamsayı denir ve \([c] = q\) yazılır.

    İkinci eşitsizlik ifadesi \[0 \leq r = c – q < 1\] biçiminde de yazılabileceğinden, her \(c\) (pozitif) gerçel sayısı için bir \(q\) tamsayısı ve \(0 \leq r < 1\) koşulunu sağlayan bir \(r\) reel sayısı vardır öyle ki \begin{equation} c = q + r \end{equation}

    Bu \(r\) sayısı için \(0 \leq 10 r < 10\) olduğundan 10’dan küçük bir \(q_1\) doğal sayısı (yani bir rakam) vardır öyle ki \[q_1 \leq 10 r < q_1 + 1 \text{ yani } 0 \leq r_1 = 10 r – q_1 < 1.\]

    Buradan bulunacak \(r = \frac{q_1}{10} + \frac{r_1}{10}\) değeri (2) de yerine konularak \[c = q + \frac{q_1}{10} + \frac{r_1}{10},\, 0 \leq r_1 < 1\]

    Böylece devam edildiğinde \(n\)-inci adımda \[c = q + \frac{q_1}{10} + \dots + \frac{q_n}{10^n} + \frac{r_n}{10^n},\, 0 \leq r_n < 1\] ve hiç durmaksızın devam edildiğinde \begin{align*} q + \frac{q_1}{10} + \frac{q_2}{10^2} &+ \dots + \frac{q_n}{10^n}\\ &+ \dots = q,q_1 q_2 \dots q_n \dots \end{align*} sonsuz toplamı elde edilir. Sonsuz çoklukta sayıyı toplama olanağı olmadığından böyle bir toplama ne anlam verileceği uygun bir biçimde belirtilmelidir.

    Özel olarak, eğer \(a\) ve \(b\) pozitif tamsayılar, yani \(c = \frac{a}{b}\) rasyonel sayı ise böyle bir açılımın rakamları belli uzunlukta rakam blokları biçiminde tekrarlanacaktır. Böyle açılımlara periyotlu açılımlar diyelim ve rasyonel sayıların açılımlarının neden periyotlu olacağını bir örnek üzerinde açıklayalım. \(c = \frac{16}{35}\) olsun. 16 sayısını 35 sayısına bölerken, kalanlar 10 la çarpılıp bölme, aynı kalan ikinci kez elde edilinceye kadar yürütülürse

    elde edilir.

    Bu tablodaki kalanlar 35’ten küçük doğal sayılardır. Olanaklı kalan sayısı 35 olduğundan, bölme işlemi en fazla 36 kez uygulanırsa elde edilecek kalanlardan en az ikisi birbirine eşit olacaktır. Örneğimizde \(r_7 = r_1\) ve bu nedenle her \(n \geq 2\) için \(r_{n + 6} = r_n\). Bunun sonucu olarak da her \(n \geq 2\) için \(q_{n + 6} = q_n\). Demek ki bölme işlemine devam edildiğinde, ikinci basamaktan başlamak üzere \[\overline{q_2~q_3~q_4~q_5~q_6~q_7} = 5~7~1~4~2~8\] rakam blokları uç uca eklenmiş görünecektir. Yani \(\frac{16}{35}\) açılımı periyotludur.

    2. Gerçel Sayıların Birkaç Eşdeğer Tanımı

    Rasyonel sayı sistemini gerçel sayı sistemine genişletmek için, ilk sistemde doğru olmayan bir özelliğin gerçel sayı sisteminde doğru olacağını kabullenmemiz gerekmektedir.

    \[c = (q,q_1 q_2 \dots q_n) + \frac{r_n}{10^n} = \left(q + \frac{q_1}{10} + \dots + \frac{q_n}{10^n}\right) + \frac{r_n}{10^n}\] eşitliğinde parantezler içindeki (rasyonel) sayıyı \(c_n\) ile gösterelim.

    Böylece her \(n\) pozitif tamsayısı için, bu eşitlik \[c = c_n + \frac{r_n}{10^n},\, 10 \leq r_n < 1\] biçiminde yazılabilir.

    \(q \leq c_n < q + 1\) olduğundan, rasyonel sayılardan oluşan \(c_n\) dizisi sınırlıdır. Ayrıca \[c_{n + 1} – c_n = \frac{q_{n + 1}}{10^{n + 1}} \geq 0 \text{ yani } c_n \leq c_{n + 1}\] olduğundan dizi artandır. Son olarak \[0 \leq c – c_n < \frac{r_n}{10^n} < \frac{1}{10^n}\] olduğundan, \(c_n\) nin \(c\) den uzaklığı (\(\frac{1}{10^n}\) ile birlikte) gitgide sıfıra yaklaşır. Yani \(c_n\) dizisi \(c\) ye yakınsar.

    Tanım 1. Sınırlı ve artan her rasyonel sayı dizisine bir gerçel sayı gösteren dizi denir ve farkları sıfıra yakınsayan böyle iki diziye aynı gerçel sayıyı gösteren diziler denir.

    Eğer rasyonel sayı sistemi içinde çalışılıyorsa ve dizi bir rasyonel sayıya yakınsamıyorsa, bu dizi rasyonel sayı sistemi içinde ıraksak ama gerçel sayı sistemi içinde yakınsak olacaktır. Öte yandan gerçel sayı sistemi içinde, sınırlı ve artan bir dizi alırsak bu dizinin her zaman bir gerçel sayıya yakınsadığı gösterilebilir.

    \(c\) nin ondalık açılımından yararlanarak bir de \[d_n = q + \frac{q_1}{10} + \dots + \frac{q_n}{10^n} + \frac{1}{10^n}\] dizisi oluşturulabilir. Bu dizi için \[q \leq d_n < q + 1,\, d_{n + 1} \leq d_n,\, 0 \leq d_n – c_n < \frac{1}{10^n}\] eşitsizlikleri geçerlidir. Yani dizi, sınırlı ve azalandır. \(n\) büyüdükçe \(d_n\) ler \(c_n\) lere yaklaştığı için, \(c_n\) ile birlikte \(d_n\) dizisi de küçülerek \(c\) ye yakınsar. O halde herhangi bir \(c\) gerçel sayısına rasyonel sayılarla soldan da sağdan da yaklaşılabilir.

    Söz konusu \(c\) sayısı \(c_n\) ler kümesinin ve bu nedenle \(c\) den küçük rasyonel sayıların oluşturduğu kümenin de en küçük üst sınırıdır. \footnote{Bir \(A\) sayı kümesi için belli iki \(K\) ve \(L\) sayıları varsa öyle ki \(A\) nın her \(a\) elemanı için \(K \leq a \leq L\) olsun, \(L\) sayısına \(A\) nın bir üst sınırı, \(K\) ya da alt sınırı denir. Böyle bir kümeye de (üstten ve alttan) sınırlı küme denir. Boş küme sınırlıdır. (Nasıl ve neden?) Boş olmayan sınırlı bir kümenin en küçük üst sınırı varsa ve bu sayı kümeye aitse, ona \(A\) nın maksimumu denir. Alt sınırların en büyüğü varsa ve kümeye aitse ona da kümenin minimumu denir.} En küçük üst sınırın (veya en büyük alt sınırın) varlığını kabul etmekle yine gerçel sayı sistemine geçmiş oluruz.

    Tanım 2. Boş olmayan, sınırlı bir rasyonel sayı kümesinin en küçük üst sınırına (en büyük alt sınırına) gerçel sayı denir.

    Yani herhangi bir \(c\) gerçel sayısı \(c\) den küçük rasyonel sayıların en küçük üst sınırı, ya da \(c\) den büyük rasyonel sayıların en büyük alt sınırı olarak tanımlanmıştır.

    Şimdi de sonsuz çoklukta sayının toplamının hangi durumlarda nasıl tanımlandığını açıklayalım. Sonsuz çoklukta sayıları toplayabilme gereksinimi antik çağlara kadar uzanır.

    Ünlü Zeno çelişkisini basite indirgeyerek ifade edelim: Bir kaplumbağa \(1\) birim uzaklığı yürüyebilmek için önce bu uzaklığın \(\frac{1}{2}\) sini, sonra kalanın yarısını yani asıl uzaklığın \(\frac{1}{4}\) ünü, daha sonra \(\frac{1}{8}\) ini \(\dots\) yürümek zorundadır. Bütün bu uzunluklar toplamı \[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots\] birim uzunluğa yani \(1\) sayısına eşit olmalıdır. Oysa ki kaplumbağa (ve insanlar) için bu sayıları toplama olanağı yoktur. O halde kaplumbağa bu uzaklığı yürüyemez. Çözümün ana fikri ondalık açılımın yorumlanmasına da yardımcı olacaktır.

    Uygulamada \[q,q_1 q_2 \dots q_n \dots\] açılımının yaklaşık olarak \[c_n = q + \frac{q_1}{10} + \dots + \frac{q_n}{10^n}\] rasyonel sayılarına eşit olduğunu yani \(c_n\) dizisinin yakınsadığı gerçel sayıya eşit olduğunu kabulleniyoruz. Gerçekten de \(c_n\) dizisi sınırlı ve artan olduğundan yakınsak bir dizidir ve \(c_n\) dizisi \(c\) ye yakınsıyorsa \(c\) sayısının bu ondalık açılıma eşit olduğunu yani \[c = q + \frac{q_1}{10} + \dots + \frac{q_n}{10^n} + \dots\] olduğunu söyleyebiliriz. Genel olarak da \[a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots\] sonsuz toplamı \[a_1,\, a_1 + a_2,\, \dots,\, c_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n,\, \dots\] kısmi toplamlarının (varsa) yaklaştığı gerçel sayı olarak tanımlanır. Buna göre \[c_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} \frac{1 – \frac{1}{2^n}}{1 – \frac{1}{2}} = 1 – \frac{1}{2^n}\] dizisi 1 sayısına yakınsadığından \[1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots\] yazabiliriz. Yani artık kaplumbağa birim uzunluğu yürüyebilecektir!

    Tanım 3. Her \(c\) gerçel sayısı bir \(q,q_1 q_2 \dots q_n \dots\) ondalık açılımıdır ve \(c_n = q,q_1 q_2 \dots q_n\) rasyonel sayıları bu gerçel sayının yaklaşık değerleridir.

    Gerçel sayıların ondalık açılımlarının birtekliğini göstermek için önce \[a = 0,999\dots9\dots\] sayısını inceleyelim. Bu sayı \[c_n = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \dots + \frac{9}{10^n}\] dizisinin yakınsadığı gerçel sayıdır. O halde \(10a\), \[10 c_n = 9 + \frac{9}{10} + \dots + \frac{9}{10^{n – 1}}\] dizisinin yakınsadığı reel sayıdır. Bu nedenle \begin{align*} 10a &= 9 + \frac{9}{10} + \dots + \frac{9}{10^{n – 1}} + \frac{9}{10^n} + \dots\\ &= 9 + a \end{align*} yazabiliriz. O halde \(a = 1\) yani \[1 = 0,999\dots9\dots.\] Aynı nedenle \[0,25999\dots9\dots = 0,26000\dots0\dots = 0,26.\] Yani belli bir ondalık basamaktan sonra bütün rakamları 9 olan bir ondalık açılımın gösterdiği rasyonel sayının başka bir ondalık açılımı daha vardır. Bundan böyle ondalık açılım deyince sonsuz çoklukta rakamı 9 dan farklı ondalık açılımları kastedeceğiz. Böyle açılımlar için, daima \(0,q_1 q_2 \dots q_n \dots < 1\) olacaktır.

    Buna göre her reel sayının sadece bir ondalık açılımı vardır. Çünkü \[c = q,q_1 q_2 \dots q_n \dots = q’,q_1′ q_2′ \dots q_n’ \dots\] ise \(c\) nin içindeki en büyük tam sayı \(q = q’\) dür. Sadeleştirip 10 la çarparsak \[q_1,q_2 q_3 \dots q_n \dots = q_1′,q_2′ q_3′ \dots q_n’ \dots\] ve \(q_1 = q_1’\) olur. Böylece devam edersek her \(n\) için \(q_n = q_n’\).

    Rasyonel sayıların periyotlu ondalık açılımları olduğunu gösterdik. Periyotlu ondalık açılımların da rasyonel sayıları gösterdiği kolayca ispatlanabilir. O halde periyotsuz ondalık açılımlar irrasyonel sayıları gösterir. Örneğin \(\sqrt{2},\, \pi,\, e\) sayılarının ondalık açılımları periyotsuzdur. Öte yandan \[0,1010010001000010\dots\] (1’ler arasındaki 0 rakamlarının sayısı her seferinde bir fazla) ondalık açılımı da bir irrasyonel sayıdır.

    İrrasyonel sayı denince birkaç örnekle geçiştirilir. Aslında irrasyonel sayılar rasyonel sayılardan her bakıma göre daha fazladır. Ancak burada biz şu kadarını ispatlayalım.

    Teorem: Herhangi iki rasyonel (ya da irrasyonel) sayı arasında pek çok irrasyonel (ya da rasyonel) sayı vardır.

    Eğer \(a < b\) irrasyonel sayılarsa, \(a\) ya sağdan rasyonel sayılarla yaklaşılabilir. O halde \(a\) ile \(b\) arasında pek çok rasyonel sayı vardır.

    Öte yandan eğer \(a\) ve \(b\) rasyonel sayılarsa, \(a + \frac{\sqrt{2}}{n}\) (\(n\) pozitif tamsayı) sayıları irrasyoneldir ve \(n\) büyükken bu sayılar \(a\) ya yakın, yani \(a\) ile \(b\) arasındadır.

    3. \(\infty\) ve \(-\infty\)

    Gerçel sayılar arasında “\(<\)” ile gösterilen bir sıralama bağıntısı vardır. Herhangi \(a\) ve \(b\) gerçel sayıları için aşağıdakilerden biri ve sadece biri doğrudur. \[a < b \text{ veya } a = b \text{ veya } b < a.\]

    Gerçel sayıların hepsi, üzerinde pozitif bir yön seçilmiş ve pozitif yönde \(0\) ve \(1\) noktaları seçilmiş bir sayı doğrusu üzerine büyüklük sıralarına göre yerleştirilebilir. Bu yerleştirme sonucunda geometrinin gereği olarak sayı doğrusunda boş nokta kalmaz.

    Bilindiği gibi sayı doğrusunun (ve genelde hiçbir doğrunun) başlangıç ve bitim noktalan (yani, uç noktaları) yoktur. Gerçel her \(a\) sayısı için \[a – 1 < a \text{ ve } a < a + 1\] olduğundan en büyük gerçel sayı ve en küçük gerçel sayı deyimleri anlamsızdır. Ancak matematikçiler, (sadece) matematik dilinde özellikle limit kavramı ile ilgili olarak bazı kolaylıklar sağladığından, sayı doğrusuna, uç noktalar olarak \(-\infty\) başlangıç noktasını ve \(\infty\) bitim noktasını yakıştırmıştardır. Böylece ortaya çıkan bu iki simge öğretim düzeyinde daima büyük yanılgılara yol açmaktadır.

    “Eksi sonsuz” ve “sonsuz” diye adlandırılan bu iki simgenin gerçel sayı göstermediği ve sadece gerçel sayılar için tanımlı olan \[a + b,\, a – b,\, ab,\, \frac{a}{b} (b \neq 0),\, a^b\] ifadelerinde \(a\) veya \(b\) yerine bunların kullanılmasının (ayrıca tanımlanmamışlarsa) bu ifadeleri anlamsızlaştıracağl unutulmamalıdır. Ayrıca \(\frac{1}{\infty}\) un anlamsız olduğu ve bunun hiçbir gerçel sayıya ve \(-\infty,\, \infty\) simgelerinden birine eşit yazılamayacağı bilinmelidir.