İbrahim Dibağ (1947 – 2018)

    0
    25
    Turgut Önder, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, onder@metu.edu.tr

    Geçtiğimiz yılın Eylül ayında Türkiye’deki matematik topluluğu önemli yıldızlarından birisini  daha kaybetti.  Yıllarca ODTÜ ve Bilkent Üniversitesi’nde ve bir ara İstanbul Üniversitesi’nde görev yapan değerli matematikçi İbrahim Dibağ sessizce aramızdan ayrıldı.  Böylece üç yıl önce kaybettiğimiz Gültekin Büyükyenerel ile birlikte cebirsel topoloji’nin Türkiye’de yerleşmesine ve gelişmesinde büyük rol oynamış bir diğer önemli beyin daha bizlere veda etti.

    İbrahim Dibağ 1947’de İstanbul’da doğdu. 1968 yılında Birmingham Üniversitesi’ni bitirdi. Daha sonra ABD’ye giderek Princeton Üniversitesi’nde doktora yaptı. Doktora hocası, cebirsel topoloji literatürüne armağan etmiş olduğu “Eilenberg-Steenrod aksiyomları”, “Steenrod kareleri” gibi kavramlardan çok iyi tanıdığımız, ama gerçekte topolojiye çok derin daha nice katkılar yapmış olan Norman Steenrod’du. İbrahim Dibağ 1971 yılında doktora derecesini aldıktan sonra aynı yıl yurda döndü ve ODTÜ Matematik Bölümü’nde çalışmaya başladı. 1985 yılına kadar ODTÜ’de görev yapan Dibağ 1986-1987’de İstanbul Üniversitesi’nde, 1987-2007 yılları arasında da Bilkent Üniversitesi’nde çalıştı.

    İbrahim Dibağ

    İbrahim Dibağ cebir, diferansiyel geometri gibi alanlarda da  önemli makaleler yazdı ama katkıları ağırlıklı olarak cebirsel topoloji üzerine idi. Özellikle topolojik K-kuramı ve $J(X)$ grupları üzerinde çok önemli çalışmaları bulunmaktadır. Biz burada kendisinin  bu alandaki çalışmalarını ve katkılarını özetlemeye çalışacağız. Dibağ’ın doktorası  ve ilk  dönem çalışmaları bir vektör demeti üzerinde sabit ranka sahip $2$-formların ayrışımları üzerinedir. Dibağ yazdığı ilk makalesinde bir vektör demetinin böyle  bir form taşıması durumunda o formun yerel olarak, doğrusal  bağımsız fonksiyonların diferansiyellerinin çarpımından oluşan $2$-formların  bir toplamı şeklinde yazılabileceğini kanıtlamış ve bu ayrışımın global olarak da var olması için gerek ve yeter koşulları saptamıştır [1]. Eğer bir vektör demeti, rankı sabit bir $s$ tamsayısı olan  bir form taşıyorsa  gerekli koşullardan birisi $2s$-boyutlu bir alt demetin varlığıdır. Global ayrışma durumunda bu alt demet $2s$ adet doğrusal bağımsız vektör alanı tarafından üretilmektedir. Bu ise problemi doğal olarak vektör alanları problemine, diğer bir deyişle verilmiş bir manifold üzerinde en fazla  kaç adet doğrusal bağımsız vektör alanı bulunduğunun saptanması problemine götürmektedir. Bu problem, genel bir manifold için henüz büyük ölçüde açık bir problemdir. Sadece bazı özel manifoldlar için elde edilmiş tam veya kısmi çözümler vardır. Fakat bu problemin küreler, gerçel ve karmaşık izdüşümsel (projektif) uzaylar üzerinde çözülmüş olması Dibağ’ın makalesindeki sonuçların pek çok  önemli uygulamasını olanaklı kılmıştır.

    Ön sıra soldan ikinci İbrahim Dibağ, ve en solda yine geçmiş yıllarda kaybettiğimiz\\ diğer bir Türk matematikçisi Mehmet Emin Bozhüyük.

    İbrahim Dibağ, hemen sonraki bir makalesinde [2]  kürenin teğet demeti üzerinde sabit ranklı $2$-formların varlığı problemini tamamen çözüme kavuşturmuştur. Bu çözümü olanaklı kılan, söz konusu varlık probleminin kürenin teğet uzayının karmaşık alt demetlerinin varlığıyla eşdeğer olduğunun gözlenmesidir. Bir $n$ tamsayısı ve ondan küçük bir $s$ tamsayısı verildiğinde $n$-boyutlu birim kürenin teğet demetinin $2s$-boyutlu ve karmaşık yapı taşıyan  bir alt demetinin olup olmadığı problemi, birçok halde küreler üzerinde vektör alanı problemine dönüşmekte,  dolayısıyla çözümlenmiş olmaktadır. Daha büyük zorluk sunan diğer haller için Dibağ, Atiyah-Todd sayısı ya da karmaşık James sayısı  olarak bilinen sayının asal çarpanlara ayrışımında $2$ asal sayısının en yüksek kuvveti olan çarpanla bölünebilmeyi içeren ve sadece $n$ ve $s$ sayılarına bağlı çok somut gerek ve yeter koşullar elde etmiştir. Atiyah-Todd sayısı, Atiyah ve Todd’un [3] No.lu makalesinde karmaşık izdüşümsel uzayın $J$-grubundaki belli bir elemanın mertebesi olarak ortaya çıkıyor ve karmaşık Stiefel manifoldlarının kesitleri probleminde anahtar rol oynuyordu. Sanıyorum bunun da etkisiyle Dibağ’ın çalışmaları bundan sonra ağırlıklı olarak topolojik $K$-kuramına ve $J$-gruplarına yöneldi.

    İbrahim Dibağ’ın elyazısından bir örnek

    Bir $X$ topolojik uzayının üzerindeki gerçel vektör demetlerinin izomorfizma sınıflarının oluşturduğu $\mathrm{Vekt} (X)$  kümesi direkt toplam ve tensör çarpımına göre  bir yarı halka oluştururlar. Bu yarı halkanın belirlediği Grothendieck halkası $KO(X)$ ile gösterilir. $KO(X)$ halkasının $\mathrm{Vekt} (X)$ yarı halkasından elde edilişini bir bakıma tam sayıların doğal sayılardan elde edilişine benzetebiliriz. $KO(X)$’in elemanları, $ E$ ve $F$ gerçel vektör demetleri, $[E]$ ve $[F]$ onların izomorfizma sınıfları olmak üzere $[E]-[F]$ ile göstereceğimiz formel farklardan, diğer bir deyişle “sanal demetler”den oluşur.

     $KO(X)$ toplamsal grubunun   özel bir bölüm grubu $J(X)$ adını alır. $J(X)$  grubu, $KO(X)$ grubunun  bir $T(X)$ alt grubuna bölümüyle elde edilir. $T(X)$ alt grubunu üreten $[E]-[F]$ sanal elemanları  şöyle betimlenebilir: $E$ ve $F$ temsilcileri, üzerinde birer metrik seçilmiş vektör demetleridir; ek olarak bu vektör demetlerinden, liflerin birim kürelerinin birleşimi olarak  oluşturulan küre demetleri “lif-homotopi denkliği” diye adlandırdığımız bir bağıntıya göre denktir.  (Lif-homotopi denkliği, homotopinin lifler boyunca,  gerçekleştiği özel bir homotopi denklik bağıntısı olarak düşünülebilir.) $J(X)$ grubunun homotopi kuramında ve geometrik topolojide çok önemli uygulamaları vardır. Örneğin küreler üzerinde vektör alanları probleminin çözümünde bu gruplar çok önemli rol oynamıştır. Bu gruplar ilk defa M. Atiyah tarafından tanımlanmış [4] daha sonra F. Adams bu tanımın birbirine eşdeğer birkaç varyasyonunu tanımlayıp cebirsel ve diferansiyel topoloji çevrelerinde çok iyi bilinen  “On the groups $J(X), I-IV$”  makale serisini  yayımlamıştır. Aslında Atiyah’ın tanımlamış olduğu $J$-grubu Adams’ın tanımladığı grubun bir direkt bileşenini oluşturmaktadır. (Diğer bileşense tamsayılar grubudur.) Adams’ın $J(X)$  makalelerinden ilki çok önemli bir sanıyı, Adams sanısını içermektedir [5]. Adams,  makalesinde bunu özel bazı hallerde yanıtlamıştır. $J(X), I-IV$ serisindeki diğer makaleler bu sanının cebirsel topolojide ne kadar büyük bir öneme sahip olduğunu göstermektedir.  Adams sanısı, $KO(X)$ grubu içinde Adams işlemleri cinsinden belirlenen özel  bir elemanın $KO(X)\to J(X)$ bölüm dönüşümünün çekirdeğinde bulunduğunu söylemektedir. Bu sanı, $J(X)$ grubu için bir üst sınır vermektedir. Adams sanısının doğru olduğu D. Quillen tarafından 1971’de kanıtlanmıştır [6]. Daha sonra, 1975 yılında  J.C. Becker ve  D. Gottlieb “transfer” kavramını kullanarak sanının daha basit ve daha topolojik bir ispatını vermiştir [7]. İbrahim Dibağ, 1983 yılında Adams sanısının transfer kavramına gerek duymayan daha elementer bir ispatını daha yayımlamıştır [8].

    Kanımca Dibağ’ın topolojiye en büyük katkısı uzun süre açık bir problem olarak kalmış olan karmaşık  izdüşümsel uzayların ve kürenin bazı sonlu devirli grup etkisi altında bölüm uzayları olan mercek uzaylarının $J$-gruplarının somut hesabını gerçekleştirmesi olmuştur. Bu sonuçlar, daha önceki birçok çalışmanın doruk noktası olarak  2003 ve 2006 yıllarında iki makale halinde yayımlanmıştır. Bunlardan birincisi   K-theory dergisinde yer almıştır [9]; çok teknik ve 48 sayfalık uzun bir makaledir. Dibağ bu makalede uzayları ve mercek uzaylarının $J$-gruplarını  üreteçlerini ve bağıntılarını vererek betimlemiştir. Onu izleyen 2006 yılı makalesi ise bu grupların toplamsal yapısını karmaşık izdüşümsel uzaylar ve mercek uzayları  için somut olarak vermektedir [10].

    İbrahim Dibağ, tüm yayınlarında çok ciddi yaratıcılık, kuvvetli bir teknik ve büyük bir mükemmellik anlayışı sergilemiştir. Çalışmalarının en önemli dönüm noktaları kendi geliştirdiği teknik ve yöntemlerle aşılmıştır. Örneğin Adams sanısının ispatında ve karmaşık izdüşümsel uzayların J-gruplarının hesaplanmasında kendisinin küresel lif uzayları için geliştirdiği derece kuramı [11] çok önemli rol oynamıştır. Yine bu önemli sonuçları kanıtlarken cebir ve sayılar kuramı kapsamında kendi yazmış olduğu makalelerden de önemli ölçüde yararlanmıştır. (Örneğin bkz. [12].)

    İbrahim Dibağ tüm çalışmalarını hep yalnızlık ortamında yaptı. Genellikle yüz yüze iletişimden kaçınan, dostlarını dahi bireysel alanından uzak tutan, içine kapalı bir yapısı vardı. Kendisini herhangi bir konferansa katılırken hatta bir seminer verirken gören olduğunu pek sanmıyorum. Sadece bazı önemli matematikçilerle zaman zaman uzaktan yazıştığını biliyorum. Özellikle lisans  yıllarında Birmingham Üniversitesi’nde  onunla sınıf arkadaşı olup  şimdi  önemli konumlara gelmiş olan bazı matematikçilerden duyduğum kadarıyla ona o yıllarda hep dahi gözüyle bakmışlar, ondan çok büyük beklentileri varmış.   Eğer hep izolasyonda çalışmayı seçmeyip yurtdışındaki meslektaşlarıyla daha kapsamlı bir  etkileşim içinde olabilseydi, eminim çalışmaları daha büyük doruklara ulaşacaktı. Yine de çok büyük işler yaptı ve önemli bilimsel çevrelerde tanınıyordu. Ne yazık ki üzerinde çalıştığı pek çok önemli ve derin problemin çözümünü sonuçlandıramadan aramızdan ayrıldı. 

    Kendisinden çok şey öğrendiğim İbrahim Dibağ’ı hep saygı ve minnetle anacağım. Tüm matematik topluluğunun başı sağolsun.

    Kaynaklar

    [1] I. Dibag, Decomposition in the large of two-forms of constant rank, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 24(3) (1974), 317-335.

    [2] I. Dibag, Almost-complex substructures on the sphere, Proc. Amer. Math. Soc. 61 (2) (1976), 361-366.

    [3] M. F. Atiyah and A. Todd, On compleks Stiefel Manifolds, Proc. Cambridge Philosoph. Soc. 56 (1960), 342-353.

    [4] M.F. Atiyah, Thom Complexes, Proc. London Math.Soc. (3)11 (1961), 291-310.

    [5] J.F. Adams, On the groups J(X), I, Topology 2 (1963), 181-195.

    [6] D. Quillen, The Adams conjecture, Topology 10 (1971), 67-80.

    [7] J.C.Becker and D.H. Gottlieb, The Transfer map and fiber bundles, Topology 14 (1975), 1-12.

    [8] I. Dibag,  On the Adams Conjecture, Proc. Amer. Math. Soc. 87 (1983), 367-374

    [9] I. Dibag, Determination of the J-groups of complex projective and lens spaces, K-Theory 29 (2003), 27-74.

    [10] I. Dibag, Primary decomposition of the J-groups of complex projective and lens spaces, Topology and its applications 153 (2006), 2484-2498.

    [11] I. Dibag, Degree theory for spherical fibrations, Tohoku Math. J. 34 (1982), 161-177.

    [12] I. Dibag, Integrality of rational D-series, J. Algebra 164(2) (1994), 468-480.