Pisagor Teoremi; Ya Öncesi

    0
    35

    Alev Topuzoğlu

    Pisagor teoremini çoğumuz biliriz. Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarını $a,$ $b$ ve hipotenüsünün uzunluğunu da $c$ ile gösterirsek $a,$ $b,$ $c$ sayıları arasında $$a^2 + b^2 = c^2$$ bağıntısı vardır. Bu yazımızda sadece, kenar uzunlukları tamsayı olan dik üçgenlerle ilgileneceğiz. Böyle üçgenleri Pisagor Üçgenleri olarak adlandıralım.

    Yaygın olarak $a,$ $b,$ $c$ pozitif tamsayılar olmak üzere $a^2 + b^2 = c^2$ bağıntısını sağlayan $(a, b, c)$ üçlülerine Pisagor Üçlüleri denir. Örnekler $(3, 4, 5),$ $(5, 12, 13),$ $(8, 15, 17),$ $(7, 24, 25)$.

    Tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz tane Pisagor üçlüsü var. Aslında, $2$ den büyük her $a$ tamsayısı için, $(a, b, c)$ Pisagor üçlüsü olacak şekilde $b,$ $c$ sayıları bulabiliriz.

    Bunun kanıtı kolay;
    $a$ çift olsun. O zaman $2$ $a$’yı böler, yani $\frac{a}{2}$ bir tamsayıdır (1). Tabii bu durumda $4,$ $a^2$’yi böler (1). O halde $\frac{a^2 − 4}{4},$ $\frac{a^2 + 4}{4}$ sayıları pozitif tamsayılardır. Eğer $b = \frac{a^2 − 4}{4},$ $c = \frac{a^2 + 4}{4}$ alırsanız $a,$ $b,$ $c$ nin $a^2 + b^2 = c^2$ eşitliğini sağladığını kolayca görebilirsiniz. $a$ tek ise bir $n$ tamsayısı için $a = 2n + 1$ şeklinde yazılabilir. Eğer $b = 2n^2 + 2n,$ $c = 2n^2 + 2n + 1$ alırsanız $(a, b, c)$ bir Pisagor üçlüsüdür.

    Acaba tüm Pisagor üçlülerini (ya da üçgenlerini) bulabilir miyiz? Bu yazıda yanıtlayacağımız soru bu.

    $a = 2n + 1,$ $b = 2n^2 + 2n,$ $c = 2n^2 + 2n + 1$ bağıntıları kullanılarak elde edilen sayıların $a^2 + b^2 = c^2$ koşulunu sağladıkları Pisagorcular tarafından biliniyordu; Pisagor M.Ö. 6. yüzyılda yaşayan bir filozof, matematikçi. Sisam Adası’nda doğdu sonra İtalya’nın güneyindeki Kroton’a giderek orada dinsel, ahlaksal, siyasal yönleri ağır basan bir okul ya da topluluk kurdu. Pisagorcular dediğimiz bu topluluğun üyeleri evrenin temel/birincil maddesinin tamsayılar olduğuna inandıkları için sayıların özelliklerine, aralarındaki bağlantılara ilgi duyuyorlardı. Matematiksel bilgi, mutlak, değişmeyen tek bilgiydi. İnançlarına göre bir (soyut) matematikçi dünyadaki somut varlıklarla bağlantı kurmak zorunda olmadığı için kendisine güzelliklerle dolu bir dünya yaratabilirdi. Bu düşünceleriyle matematiğin pratik problemleri çözmenin dışında önemli bir soyut uğraş olarak algılanmasına yardımcı oldular.

    Ancak Pisagor, İyonyalı olmasına karşın mistik eğilimleri yönünden Milet okulu filozoflarının (Tales, Anaksimandros, Anaksimenes) bilimsel geleneğinden önemli bir ayrılık gösterir. Pisagorcu’ların felsefesinde temel güdü İyonya’lılarda olduğu gibi salt bilimsel merak değildi. Vardıkları bazı sonuçlar, ussal kaynaklardan çok (Orfeci gizemsel) dinden geliyordu ([2], [4]). Bilimsel yöntemden uzaklaşma böylece Pisagor’la başlar ve Pisagor’un etkisi ondan sonraki pek çok filozofta görülür ([4]). Yüzyıllar boyunca sürecek olan rasyonel ile mistik düşüncenin karşıtlığı/çatışması ilk kez burada ortaya çıkar. Aşağıda “Onikinci Gece”den aldığımız kısımda Pisagor’un, ruhların bedenden bedene dolaştığına olan inancına değiniliyor.

    SOYTARI.- Pisagor'un yabani kuş hakkındaki düşüncesi nedir?
    MALVOLIO.-Anneannemizin ruhunun bir kuşta yaşayabileceğidir.
    SOYTARI.- Sen bu fikir hakkında ne düşünüyorsun?
    MALVOLIO.- Ben ruhun yüceliğine inanırım, onun düşüncesini hiç de uygun bulmuyorum.
    SOYTARI.- Allaha ısmarladık. Ebediyen karanlıkta kal. Senin akıllı olduğunu kabul etmem için önce senin Pisagor'un düşüncesini kabul etmen gerekecektir ve sakın çulluk öldüreyim deme yoksa belki onun vücudundan anneannenin ruhunu çıkarmış olursun.
            W. Shakespeare "Onikinci Gece"
    Plimpton 322

    Pisagorcu’ların varlıkları hatta matematiksel buluşları ortaktı ve çoğu gizli tutulurdu. Bu yüzden Pisagor’un matematiğinden değil de Pisagorcuların matematiğinden bahsetmek daha doğru olur. Pisagor’un Kroton’a yerleşmeden önce epey seyahat ettiği ve bu seyahatleri sırasında Mısır, Mezopotamya matematiğini öğrendiği sanılıyor.

    Dik üçgenlerin Pisagor teoremi olarak adlandırdığımız özelliği Pisagor’dan en az 1000 yıl önce hem Mısır’da hem Mezopotamya’da biliniyordu; M.Ö. 1900-1600 yıllarından kalan (tarihi kesin değil) ve şimdi Columbia Üniversitesi’nde bulunan Plimpton koleksiyonundan 322 numaralı kil tablette 4 sütun halinde yazılmış sayılar var.

    1191691
    336748252
    460166493
    12709185414
    65975
    3194816
    229135417
    79912498
    4817699
    4961816110
    457511
    1679292912
    16128913
    1771322914
    5610615
    Tablo 1

    Tablo 1 son üç sütundaki sayıların kullandığımız sayı sistemine göre yazılışını gösteriyor. İkinci sütundaki herhangi bir sayının karesinden birinci sütunda, aynı sırada yer alan sayının karesini çıkarırsanız gene bir kare elde edersiniz. Yani ikinci sütundaki sayılar dik üçgenlerin hipotenüs uzunluklarını, birinci sütundakiler de dik kenarlardan birinin uzunluğunu gösterir. Diğer bir deyişle tablet, 15 değişik Pisagor üçlüsünü gösteriyor. Ama neden özellikle bu üçlüleri?

    Bu soruya yanıt verebilmek için Pisagor üçlüleriyle ilgili bazı gözlemlere gereksinimimiz var;

    Gözlem 1: $(a, b, c)$ bir Pisagor üçlüsü ise her pozitif $k$ tamsayısı için $(ka, kb, kc)$ de bir Pisagor üçlüsüdür. O halde;

    Tanım: $a,\, b$ sayılarının $1$ den başka ortak böleni yoksa (ki bu $(a, b) = 1$ şeklinde gösterilir.) (2) $(a, b, c)$ Pisagor üçlüsüne temel Pisagor üçlüsü denir.

    Demek ki tüm Pisagor üçlülerini bulmak için temel Pisagor üçlülerini bulmak yeterli.

    Gözlem 2: $(a, b, c)$ bir temel Pisagor üçlüsüyse $c$ tek ve $a,\, b$ nin biri tek diğeri çifttir.

    Kanıt: $a,$ $b$ nin ikisi de çift olamaz çünkü bu durumda 2, $a$ ve $b$ nin ortak bölenidir. $a,$ $b$ nin ikisinin de tek olduğunu kabul edelim. Bu durumda $a = 2n + 1,$ $b = 2m + 1$ olacak şekilde $n,$ $m$ sayıları vardır. Fakat \begin{align*} a^2 + b^2 &= (2n + 1)^2 + (2m + 1)^2\\ &= 4(n^2 + m^2 + n + m) + 2 = c^2 \end{align*} olur ki, bu da $c^2$ nin çift, dolayısıyla $c$ nin çift olduğunu gösterir. Ama $2$ $c$ yi bölerse $4,$ $c^2$ yi bölmelidir. Halbuki yukarıdaki eşitlikten $c^2$ nin $4$ e bölünmediğini görüyoruz. O halde $a,$ $b$’nin biri tek biri çifttir. Dolayısıyla $c$ tektir.

    $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$ temel Pisagor üçlülerinin örnekleri. Dikkat ederseniz $c$’nin iki kare toplamı olduğunu görürsünüz; $5 = 2^2 + 1^2$, $13 = 3^2 + 2^2$, $17 = 4^2 + 1^2$. Dahası, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$ ikililerinde sayıların biri çift, diğeri tek ve en büyük ortak bölenleri $1$. Şimdi bunun daima geçerli olduğunu kanıtlayalım.

    Teorem A: $a$ çift olmak üzere $(a, b, c)$ bir temel Pisagor üçlüsüyse aşağıdaki koşulları sağlayan $x,\, y$ sayıları bulabiliriz;

    1. $x$, $y$ pozitif tamsayilar,
    2. $x > y$,
    3. $x − y$ tek,
    4. $(x, y) = 1$,
    5. $a = 2xy$, $b = x^2 − y^2$, $c = x^2 + y^2$.

    Kanıt: Gözlem 2’den $b$ ve $c$ nin tek olduğunu biliyoruz. Bu yüzden $c − b$ ve $c + b$ sayıları çifttir. Yani $\frac{c − b}{2},$ $\frac{c + b}{2}$ sayıları tamsayılardır. $(a, b) = 1$ olduğu için $(b, c) = 1$ ve $(\frac{c − b}{2}, \frac{c + b}{2}) = 1$ kolayca elde edilir. Diğer taraftan $$\left(\frac{c + b}{2}\right) \left(\frac{c − b}{2}\right) = \frac{c^2 − b^2}{4} = \frac{a^2}{4} = \left(\frac{a}{2}\right)^2.$$ O halde en büyük ortak bölenleri $1$ olan $\frac{c + b}{2},$ $\frac{c − b}{2}$ sayılarının çarpımı bir karedir. Bu, ancak kendilerinin de kare olması halinde olasıdır. Yani $\frac{c + b}{2} = x^2,$ $\frac{c − b}{2} = y^2$ eşitliklerini sağlayan $x,$ $y$ pozitif tamsayıları vardır. Bu $x,$ $y$ sayılarının 1, 2, 4, 5 koşullarını sağladıkları açık. Diğer taraftan $x^2 + y^2 = c$ ve $c$ tek olduğuna göre, $x,$ $y$ den biri tek, biri çifttir yani 3 koşulu da sağlanır.

    Bu teoremin tersini (yani; 1-4 koşullarını sağlayan her $x$, $y$ için 5 ile elde edilen $(a, b, c)$ üçlüleri temel Pisagor üçlüleridir) kendiniz kolayca kanıtlayabilirsiniz. Böylece $(a, b, c)$ temel Pisagor üçlüleriyle Teorem A’da bahsedilen $(x, y)$ ikilileri arasında birebir eşleme olduğunu görüyoruz. $(x, y)$ ikilisine $(a, b, c)$’nin doğuranı diyelim. Artık tüm temel Pisagor üçlülerini dolayısıyla tüm Pisagor üçlülerini doğuranları yoluyla elde edebileceğimizi biliyoruz.

    Tekrar Plimpton 322 ye dönersek tabletteki Pisagor üçlülerinin 1 ile 60 arasındaki, $a > b$ olacak şekilde seçilmiş $2^{\alpha} 3^{\beta} 5^{\gamma}~(\alpha,\, \beta,\, \gamma > 0)$ formunda $(x, y)$ değerlerinin doğurduğu üçlüler olduğunu görüyoruz. Tablo 2’de, tabletin ikinci ve üçüncü sütunlarındaki $b$, $c$ değerlerini, onlara karşılık gelen $a$, $x$, $y$ sayılarını görebilirsiniz. 11. ve 15. satırdakilerin dışındaki tüm üçlüler temel Pisagor üçlüleri. Mezopotamyalı’ların 60 tabanı kullandığını gözönüne alarak belki 11. satırdaki sayıların nedeninin kendiniz açıklayabilirsiniz. Tabletin birinci sütununda $\frac{c^2}{a^2}$ sayıları azalan bir dizi olarak veriliyor. Bu sayıların ilki yaklaşık $\sec^2 45^{\circ}$ sonuncusu da yaklaşık $\sec^2 31^{\circ}$. Aradaki sayılar $\alpha,$ $44^{\circ},$ $43^{\circ},$ $42^{\circ},$ $\dots,$ $32^{\circ}$ olmak üzere yaklaşık $\sec^2 \alpha$ değerleridir (Plimpton 322 hakkında daha fazla bilgi için bkz. [1], [3], [5].)

    bcaxy
    119169120125
    3367582534566427
    4601664948007532
    12709185411350012554
    65977294
    319481360209
    2291354127005425
    79912499603215
    4817696002512
    4961816164808140
    45756021
    1679292924004825
    161289240158
    1771322927005027
    561069095
    Tablo 2

    Kısacası, Plimpton 322 tableti bize Mezopotamyalı’ların Teorem A 5’teki eşitlikleri kullanarak Pisagor üçlülerini elde edebildiklerini gösteriyor. Ancak bu yolla tüm Pisagor üçgenlerini elde edebileceklerini veya Pisagor teoremini kanıtlamış olmaları olası değil. Pisagor teoreminin ilk kez Pisagorcular tarafından kanıtlandığı düşünülüyor. Teoremin ve tersinin (yani bir $ABC$ üçgeninde $|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$ ise $AB$ ile $AC$ arasındaki açı diktir.) ilk yazılı kanıtı Öklid‘in ~ M.Ö. 300’de yazdığı Elementler kitabında. Öklid’in bu kanıtları Pisagorculardan aldığı sanılıyor.

    Yukarıda çözümünü verdiğimiz problem; kenar uzunlukları tamsayı olan tüm dik üçgenlerin bulunması, ya da başka bir anlatımla $a^2 + b^2 = c^2$ denkleminin tüm tamsayı çözümlerinin bulunması, sayılar teorisinin en eski problemlerinden birisi. Zamanımızın Piasgor üçlüleriyle bağlantılı ünlü problemleri de gelecek sayıda…

    Gelecek sayıya kadar üzerinde uğraşabileceğiniz birkaç soru:

    1. Alanı, verilen bir $A$ tamsayısına eşit olan Pisagor üçgenlerini nasıl bulabiliriz? (Meraklıysanız eğer, algoritmayı bulduktan sonra bunun için bir bilgisayar programı da yazabilirsiniz.)
    2. Pisagor üçgenlerinin alanları tam kare olabilir mi? ($n$ bir tamsayı olmak üzere $A = n^2$ olası mıdır?)
    3. Çevresi verilen bir $Ç$ sayısına eşit olan Pisagor üçgenlerini nasıl buluruz?
    4. Alanı çevresinin yarısına eşit olan Pisagor üçgenlerini bulunuz.

    NOTLAR:

    (1) $x,$ $y$ tamsayılarsa ve $\frac{y}{x}$ bir tamsayı ise $x,$ $y$ yi böler deriz ve bunu $x \mid y$ şeklinde gösteririz. Örneğin $2 \mid 6$, çünkü $\frac{6}{2} = 3$ bir tamsayı.

    (2) $a,\, b$ tamsayılarının en büyük ortak böleni $k$ sayısıysa bunu $(a, b) = k$ şeklinde yazarız. Eğer $(a, b) = 1$ ise “$a,\, b$ sayıları aralarında asaldır” denir.

    Kaynakça:

    [1] C.B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.

    [2] W.K.C. Guthrie, İlk Çağ Felsefesi Tarihi, Gündoğan Yayınları, 1988.

    [3] O. Ore, Number Theory and its History, McGraw-Hill, 1948.

    [4]B. Russel, Batı Felsefesi Tarihi I, Bilgi Yayınevi, 1972.

    [5]A. Weil, Number Theory, An Approach Through History, Birkhäuser Boston Inc., 1984.