Yarışma Soruları

0
33

Matematik Dünyası’nda yayınlanmış yarışma sorularına bu sayfamızdan ulaşabilirsiniz. Çözümlere PDF arşivimizden ulaşabilirsiniz.

1991 – 3

Y11. Düzlemde, köşeleri $a, b, c$ karmaşık sayılarına karşılık gelen bir üçgenin eşkenar olması için gerek ve yeter koşulun $a^2 + b^2 + c^2 = bc + ca + ab$ olduğunu gösteriniz. (Hazırlayan: H. Demir)

Y12. Kenarları $a, b, c, d$ olan hangi dörtgenlerde $$\begin{vmatrix}a & b & c & d \\ b & c & d & a \\ c & d & a & b \\ d & a & b & c \notag \end{vmatrix} = 0$$ olur?

(Hazırlayan:H. Demir )

Y13. $f(x) = (1 + x + \ldots + x^{2n}) – (-1)^nx^n$ polinomu, $x$ in hangi değerleri için pozitif, hangileri için negatif, hangileri için sıfır değerler alır?

Y14. Banach’ın kibrit kutusu problemi:

Bir adam, her birinin içinde $n$ tane kibrit bulunan iki kutu kibrit alır ve cebine koyar. Her ihtiyaç duyduğunda iki kutudan birini rastgele seçerek, bir kibrit kullanır. Aradan bir süre geçtikten sonra kutulardan birini eline alıp açtığında kutunun boş olduğunu görür. Bu sırada diğer kutuda tam olarak $k$ tane $(0\le  k \le n)$ kibrit kalmış olması olasılığını hesap ediniz. (Adamın boş kutudaki son kibriti kullandıktan sonra kutuyu dalgınlıkla tekrar cebine koymuş olduğu varsayılmaktadır.)

Y15. $[AB]$ çaplı bir yarıçember $C, D$ ile eş üç parçaya bölünmüştür. $CD$ yayına ait bir $P$ noktasını $A, B$ ye birleştiren doğrular $BD$ ve $AC$ yi $E$ ve $F$ de kesmektedir. $\sphericalangle CAP = x$ ise $\sphericalangle FEP  = 3x$ olduğunu gösteriniz. (Hazırlayan: H. Demir)

1991 – 2

Y6. Bir teğetler dik yamuğu tabanlara paralel bir doğru ile kesiştirilerek çevre uzunlukları eşit $ABEF,\, FECD$ yamukları elde edilmiştir. $|EF|$ uzunluğunun $ABCD$‘nin kenarlarından birine eşit olduğunu gösteriniz.

Y7. Yandaki tamdörtgende (genel durumlu dört doğrunun oluşturduğu şekilde) belirtilen açılar arasında $$\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} \cos \frac{D}{2} = \cos \frac{E}{2} \cos \frac{F}{2}$$ eşitliğinin geçerli olduğunu gösteriniz.

Y8. $a,\, b,\, c$ sıfırdan farklı gerçel sayılar olduğuna göre \[\Big(\frac{b}{x} + 1 + \frac{x}{c}\Big)^{-1} + \Big(\frac{c}{x} + 1 + \frac{x}{a}\Big)^{-1} + \Big(\frac{a}{x} + 1 + \frac{x}{b}\Big)^{-1} = 1\] denklemini çözünüz.

Y9. $t = -1 + \sqrt{2}$ olduğuna göre $$\int_{1/t}^{t} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^t + 1)}$$ integralinin değeri nedir?

Y10. Merkezi $O$ ve yarıçapı $R$ olan bir çemberin üzerinde bir $O_1$ noktası alınıp çizilen $(O_1, r)$ çemberi $(O, R)$ yi $A$ ve $O_2$ de kesiyor. $(O_2, r)$ çemberi $(O_1, r)$ yi $(O, R)$ nin içinde $B$ de, $AB$ doğrusu da $(O, R)$ yi $C$ de keserse $|BC| = R$ olduğunu gösteriniz.

1991 – 1

  1. \[\frac{\sqrt{\sqrt[4]{8} + \sqrt{\sqrt{2} – 1}} – \sqrt{\sqrt[4]{8} – \sqrt{\sqrt{2} – 1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{8} – \sqrt{\sqrt{2} + 1}}}\] sayısını \(a\) ve \(n\) pozitif tamsayı olmak üzere \(\sqrt[n]{a}\) biçiminde yazınız.
  2. Şekilde \(ABCD\) bir kare olup \(|DM| = |MC|\), \(|CK| = |KL| = |LB|\) ve \(MH \perp AL\) dir.
    \(AB = 12 cm\) ise \(\overset{\triangle}{MAH}\) üçgeninin alanı kaç \(cm^2\) dir?
  3. \(\cos \frac{\pi}{17} \cos \frac{2 \pi}{17} \cos \frac{4 \pi}{17} \cos \frac{8 \pi}{17} = ?\)
  4. \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) elipsi veriliyor. Elips üzerinde \(A, A’, B, B’\) den farklı \(P_1(x_1,\, y_1)\) ve \(P_2(x_2,\, y_2)\) noktaları alınıyor. Bu noktalardaki normallerin kesim noktası \(P_0(x_0,\, y_0)\) ve teğetlerin kesim noktası \(P_3(x_3,\, y_3)\) ise \(\frac{x_1 x_2 x_3}{x_0} + \frac{y_1 y_2 y_3}{y_0} = a^2 + b^2\) olacağını gösteriniz. (Hazırlayan: Hüseyin Demir)
  5. Bir \(ABC\) üçgeninin içindeki bir \(D\) noktası köşelere birleştirilmiştir. Şekilde belirtilen açılar verilmiş olduğuna göre \(x\) açısı kaç derecedİr? (Hazırlayan: Hüseyin Demir)