HER TAŞIN ALTINDA ‘6174’
Dört basamaklı ve rakamlarının hepsi aynı olmayan bir $a$ sayısı alınız (örnek: 7112). $a$ nın rakamlarının yerlerini değiştirerek elde ettiğiniz en büyük sayıyı $\bar{a}$ ile, en küçüğünü de $\underline{a}$ ile gösterip $b = \bar{a} – \underline{a}$ farkını bulunuz. $a$ için yaptığınızı $b$ için tekrarlayıp $c = \bar{b} – \underline{b}$ farkını hesaplayınız. Böylece devam edildiğinde, sonlu adım sonunda 6174 sayısına rastlayacaksınız.
Birkaç sayı için deneyip hep 6174 sayısına rastlayacağınızı görün. Bu rastlantının bir rastlantı olmadığını ispatlayabilir misiniz?
Aşağıdaki toplamların ne özelliği vardır?
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} +\frac{1}{9} +\frac{1}{11} +\frac{1}{15} +\frac{1}{21} +\frac{1}{165} +\frac{1}{693}=1$$
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} +\frac{1}{9} +\frac{1}{11} +\frac{1}{15} +\frac{1}{35} +\frac{1}{41} +\frac{1}{231}=1$$
$$1 + 98 + \frac{3}{6} + \frac{27}{54} = 100$$
$$25 + 74 + \frac{3}{6} + \frac{9}{18} = 100$$
$2^59^2 = 2592$
Prof. Dr. Türkan Başgöze’yi Kaybettik
Matematik dünyası değerli bir üyesini daha yitirdi. Meslektaşımız Türkan Başgöze
Rüya mı hakikat mi kalbim duracak sanki Hayır bir rüya değil gerçeğin ta kendisi Bu ne sessiz bir zafer ne şerefti mutluluk Müjdeler olsun, müjde, çözüm bulundu işte!...
sözleriyle bizlere veda ederek sonsuz yolculuğuna çıktı. Başımız sağolsun.
1934 doğumlu olan Prof. Dr. Türkan Başgöze Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi matematik bölümünden 1957 yılında mezun oldu. Fakülte öğrenimi sırasında başarıları nedeniyle SCONY VACUM bursu ile ödüllendirildi. 1959 yılında ODTÜ’de asistanlığa başlayan Başgöze, 1962 – 1965 yılları arasında Londra Üniversitesi’nde doktora çalışmasını tamamlayarak ODTÜ’ye dönmüştür. 1968, 1973 ve 1981 yıllarında misafir öğretim üyesi olarak Kentucky Üniversitesi (ABD)’ni üç kez ziyaret etmiş olan Başgöze 1971 yılında doçent ünvanını almıştır. 1987 yılında profesörlüğe yükseltilen Başgöze, A. Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümü’nde görev almıştır.
Ölüm tarihi olan 22 Şubat 1991 gününe kadar Bölüm Başkanı ve Ana Bilim Dalı Başkanı olarak görevini sürdürmüştür…
Kurbağalara Yanıt
Sekizgenin köşelerini sırayla $ABCDED’C’B’$ olarak adlandıralım. $A$’dan başlayan bir kurbağa tek sayıda sıçrama sonunda ancak $B, B’, D$ ve $D’$ köşelerine varabilir; o halde $a_{2n -1} = 0$.
Kolaylık olsun diye $A$’dan başlayıp $k$ adımda $C$’ye varan yolların sayısına (ki bu şeklin simetrisinden dolayı $C’$’ne varan yolların sayısı ile aynı) $x_k, A$’dan başlayıp $k$ adımda yine $A$’da biten yolların sayısına da $y_k$ diyelim.
$A$’dan başlayıp $E$^de biten bir yol $A\cdots CDE$ veya $A\cdots C’D’E$ şeklinde olabilir. Yani $2n – 2$ adımda $C$’ye varan her yol için $2n$ adımda $E$’ye varan bir, $2n -2$ adımda $C’$’ne varan her yol için $2n$ adımda $E$’ye varan yine bir yol var. Yani
$$a_{2n} = x_{2n-2} + x_{2n-2} = 2x_{2n-2}.$$
$A$’dan $C$’ye varan yollar $A\cdots ABC$ veya $A\cdots CBC$ ya da $A\cdots CDC$ şeklinde olmalı. Yukarıdaki gibi irdelersek bunun anlamı:
$$x_{2n} = 2x_{2n – 2} + y_{2n – 2}.$$
$A$’dan başlayıp yine $A$’da biten yollar ise 4 tür olabilir: $A\cdots ABA$, $A\cdots AB’A$, $A\cdots CBA$ veya $A\cdots C’B’A$. Buradan
$$y_{2n} = 2x_{2n – 2} + 2y_{2n – 2}$$
elde ettik. İndislerdeki 2 çarpanından kurtulmak için:
$$X_n = x_{2n}, Y_n = y_{2n}$$
dizilerini tanımlarsak
$$X_n = 2X_{n-1} + Y_{n-1}$$
$$Y_n = 2X_{n-1} + 2Y_{n-1}$$
indirgeme sistemini; $Y$’leri yok edersek de:
$$X_{n+1} = 4X_{n} – 2X_{n-1}$$
bağıntısını buluruz. Genel çözüm
$$X_n = c(2 + \sqrt{2})^n + d(2 – \sqrt{2})^n$$
şeklindedir. Başlangıç değerleri $X_0 = 0$ (0 adımda $C$’ye varan yol yok), $X_1 = 1$ (2 adımda $C$’ye varan tek yol $ABC$). O halde
$$X_n = \frac{1}{2\sqrt{2}}((2 + \sqrt{2})^n – (2 – \sqrt{2})^n)$$
ve
$$a_{2n} = 2x_{2n-2} = 2X_{n-1} = \frac{1}{\sqrt{2}}((2 + \sqrt{2})^n – (2-\sqrt{2})^n).$$
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 3. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
