Matematikte Tanım ve Kanıtlar

Yazar: Mehmet Sait Eroğlu

Yıl: 1992-1

Sayı: 6

Matematik sözcüğünün çağrıştırdığı ilk sözcüklerin arasında kanıt gelir. Ancak kanıt salt matematiğe özgü bir şey değildir. Değişik alanlarda, neden, niçin sorusunu sorduğumuz her yerde bir kanıtın peşindeyiz. Ancak kanıttan ne anlaşıldığı alan ve zamana göre değişmiştir. Kanıtın şekli yetkin kişi(ler) onayıdır . Burada, genelde bir açıklama yapmadan, yetkin kişiler bir önermenin doğruluğu hakkında karar verirler. Eski zamanlarda büyücü, bilge kişi, köy ihtiyar heyeti vb. olarak karşımıza çıkan yetkin kişiler, günümüzde ortadan yok olmuş değillerdir, onlara bilirkişi, öğretmen, komisyonlarda bilim jürilerinde veya bir alanda sivrilmiş otoriteler olarak rastlamaktayız. Ancak yetkin kişilerin elinden çıkan her eserin yetkin olması gerekmez. Hiçbir bilimsel eser Öklid’in Geometrisi kadar hayranlık uyandırıp uzun yıllar didik didik edilip, tüm bilimsel çalışmalara örnek olarak gösterilmemiştir. Buna karşın yazılışından ancak yaklaşık 2000 yıl sonra bu eserdeki kanıtların bazılarında ciddi kusurlar olduğu görülmüş ve bunlar yüzyılımızın başında büyük Alman matematikçisi David Hilbert’in çalışmalarıyla giderilmiştir. Ancak Öklid’e ve aşağıda sözünü edeceğimiz diğer matematikçilere haksızlık etmemek için hemen belirtelim ki Öklid’ten bu yana kanıttan ne anladığımız değişmiş ve bugünkü anlamına bin sekiz yüzlü yılların sonuna doğru ulaşmıştır. Bunu aşağıda biraz açacağız. Yetkin kişilerin onayı bazen olumsuz sonuçlar verir, örneğin zamanının yetkin kişileri Galois’yı hiç anlamamışlar; Cantor’u ise ilk yıllarda çıldırmanın eşiğine getirmişlerdir. Yine de yetkinlerin zararının en az olduğu alan matematiktir. Yetkin kişi kanıtı günümüzde zayıflamış biçimde sanı (conjecture) ve doktora tezleri olarak karşımıza çıkar. Belli alanlarda yetkin matematikçiler kanıt vermeden bazı önermeleri çalışmalarına ekler ve bunların doğru olduklarını sandıklarını belirtirler. Bu önermelerin, önerme sahiplerinin özel yetenek ve sezilerine güvenerek doğru olduklarını beklemek genelde yanlış bir tutum değildir. Önce yadırgayabileceğiniz bu yaklaşım biraz yakından bakıldığında aslında gelişimin ana çizgisidir. Kuşkusuz bazı sanılar yanlış çıkmıştır. Ancak doğru çıkanlar çoğunluktadır ve ayrıca çoğu sanıların kanıtlarının bir kaç on yıllık uğraş, hem de çok sayıda yetenekli matematikçinin uğraşını gerektirdiğini düşünürsek yetkin kişi onayının veya sanısının önemi anlaşılır. Belki biraz abartarak diyebiliriz ki, matematikte son yetmiş yılda ortaya konan devasa eserlerin büyük bir kısmı Hilbert’in 1920’lerde ortaya koyduğu problemlerin çözümü için verilen uğraştan kaynaklanmaktadır. Ayrıca bazen bir sanının doğru veya yanlışlığının gösterilmesi sırasında geliştirilen yöntemler bu sanıdan da önemlidir. Örneğin Fermat’ın meşhur sanısı, n ikiden büyük bir doğal sayı olduğunda $ x^n + y^n = z^n $ denkleminin pozitif tam sayılarla çözümü olmadığı sanısı henüz sonuçlandırılmadı. Ancak bu yolda verilen uğraşlar sırasında geliştirilen ideal teori, kanımızca bu sanıdan çok daha önemlidir; ideal teorisi olmadan cebirsel geometri bu güzellikte oluşamazdı. Yine verilen doktora tezlerinin yüzde doksanının ardında yetkin kişilerin doğru sezileri vardır.

Teoremlerin mutlak doğruları yansıttığı ve kanıtlarının tartışılmaz olduğu sanılan matematikte, bir teoremin doğruluğunun ne anlama geldiği tartışmasını şimdilik bir kenara bırakıp kanıtlara eğileceğiz. Matematik ve Belit Sistemleri (Bkz. Matematik Dünyası Cilt 1,Sayı 5, s.1) adlı yazımızda her ne kadar bir belit sisteminin tanımsız terimlerinin ve belitlerinin yeterince uğraş verilen bir alandan kaynaklansalar da oradaki anlamlarından arındırılması gerektiğini vurgulamıştık. Örneğin Öklid geometrisi için düşünülebilecek bir belit sisteminin bir parçasını oluşturulan $ B_{5} $ belit sisteminde “doğrular” ve “noktalar” yoktur, bunların yerini çatlar ve patlar almıştır.

Dolayısıyla Öklid geometrisine ilişkin herhangi bir önermenin kanıtında bir takım şekiller çizerek “şekilden de apaçık görüldüğü gibi …….dır” irdelemesinin yeri yoktur. Ayrıca bu tür çıkarımların ayıklanabileceği kanıtlanmazsa bu kanıt bizim için bugün geçersiz olur. Eski çalışmalarda bu tür çıkarımlara sıkça başvurulduğunu görüyoruz. Şekillerin ilişki sezdirme ve kavramadaki rolünü yadsımıyoruz; ancak hiçbir zaman bir kanıtın parçası olamazlar. Bu nedenledir ki bazı eksikliklerine karşın geometri çok önceleri, Öklid zamanında bile hayranlık uyandıran bir düzeyde gelişirken, doğal sayılar hakkında bilgimiz ancak 1900’lere doğru kesinlik kazanmıştır.          ·

Eski çalışmalarda bugün kabul edemeyeceğimiz bir diğer şey kusurlu tanımlardır. Karmaşık sayılar kavramı ancak Gauss’un (1777-1855) çalışmalarıyla açıklık kazanır. Newton ve Leibniz’in oluşturdukları “sonsuz küçükler hesabı’nın mekanikte sağladığı başarıların coşkusuyla kanıt ve tanımlarda gösterilen titizlik açısından Öklid’in Çok gerisinde kalınmıştır. Bir örnek vermek gerekirse bir $ [a,b] $ kapalı aralığında tanımlı gerçel değerli bir fonksiyonun sürekli olması “grafiğinin sıçrama yapmaması ve kalemi kaldırmadan bir çırpıda çizilebilir ve en fazla sonlu yerde sivrilikler içermesi , yani en fazla sonlu yerde teğeti olmaması” ile tanımlanmaktadır. Eğer $ f: [a, b] \to {R} $ sürekli, $ f(a) < 0$ ve $ f(b) > 0$ ise en az bir $ c\in (a, b) $ için $ f(c) = 0$’dır. Bu teoremin kanıtı ise şöyle verilmektedir: $x$-eksenin altıda kalan bir noktayı, kalemi kaldırmadan $x$-eksenin üstündeki bir noktayla birleştirirsek, besbelli ki en az bir defa $x$-eksenini keseriz. Kesim noktasının apsisi aranan $c$ dir. Bugün ne bu tanımı, ne de bu kanıtı kabul edemeyiz. Yine Leibniz, Bernoulli ve Euler gibi ünlü matematikçilerin limit bilgileri yanlıştır ve çoğu zaman bir fizikçi gibi çalışmaktadırlar. Bir takım uğraşlarla bir bağıntı sezinlendiğinde onu kanıtlamak yerine, bu bağıntının doğruluğundan daha önce bilinen doğrulara ne ölçüde ulaşıldığı araştırılmış; ulaşılan doğruların sayısı sezilen bağıntının doğruluğunun güvencesi, bir anlamda kanıtı olarak düşünülmüştür. Örneğin $ p(z) = a_{n} +a_{n-1} z^{n-1} +… + a_{1} z + a_{0} $ kompleks katsayılı bir polinom $(a_{n} = 0)$ ve $z_{1}, … , z_{n}$ bu polinomun kökleriyse $ p(z) = a_{n}(z – z_{1}) …(z – z_{n})$ olarak yazılabilir. Kompleks düzlemde tanımlı $ sin{z} $ fonksiyonun ise sonsuz tane kökü vardır. Bunlar $k\pi , (k\in Z)$ dirler. Euler polinomlar için bilinen çarpım ifadesini bu fonksiyonlara aktarmış ve

$sin z = z \prod_{n=1}^{∞} =(1- \frac{x^2}{n^2\pi^2})$

ifadesine ulaşmıştır. Ancak burada bir sonsuz çarpım söz  konusudur. Euler’in bunlar hakkındaki bilgisi tam değildir ve unutmayalım ki limit kavramı çok sonraları Cauchy ve Weierstrass’ın çalışmalarıyla açıklığa kavuşmuş, bundan sonra yukardaki bağıntıların gerçek bir kanıt verilebilmiştir. Bu konuda ayrıntılı bir örnek olarak Matematik Dünyası Cilt I,Say1 5’te yayınlanan Tuğrul Taner’in “Matematikte Benzetme” adlı yazısına bakılabilir.

Bu aşamada bir noktayı vurgulamadan geçemeyeceğiz. Doğa hakkındaki yanlış bilgilerimizin matematikteki etkisi olumlu olmuştur. Bugün evrenin sonlu ve aynı olduğunu biliyoruz. Bir an için evreni bugünkü fizik bilgisi ışığında görebildiğimizi varsayalım: her yönüyle sonlu, süreksiz, aynı ve bizi ilgilendiren tüm büyüklükleri; zaman, enerji, uzaklık, ağırlık vb… daima temel birimlerin katları olarak karşımıza çıkan bir evren. Böyle bir evrende sonsuza, doğruya, düzleme, … , gerçel ve kompleks sayılara, sürekliliğe, limite yer yoktur. Böyle bir evrende Öklid geometrisi, analiz, topoloji…. oluşturulamazdı. Olsa olsa rasyonel sayıların dışına çıkmayan sayılar teorisi, olasılık, istatistik gibi alanlarla basit düzeyde işe başlanır ve yetinilirdi uzun süre; belki ileri aşamalarda gruplar teorisine geçilirdi. Ne doğa hakkındaki yanlış bilgimiz, ne de kusurlu tanım ve kanıtlar büyük zararlara yol açmamışlar, aksine ilerde daha sağlam temellere dayandırılan faydalı kuramlara yo! açmışlardır. Bu tablonun felsefi yorumunu yapmak istemiyorum.

Matematikte, en sarsıcısı 1900 dolaylarında olmak üzere bir kaç; bunalım yaşanmıştır. Bunlara belki bir başka yazımızda değineceğiz. Matematiğin ne olduğu ve nasıl yapılması gerektiği hakkında bir fikir birliği yoktur, değişik ekoller vardır. Matematikçiler epeyce bir süredir herhangi bir matematik kuramdaki belitlerin değiştirilebileceğini bilmekteydiler, ancak mantığın evrensel, mutlak ve değişmez olduğunu sanmaktaydılar. Son bunalımın ortaya koyduğu gerçek evrensel mutlak ve değişmez bir mantığın olmadığıdır. Değişik mantıklar vardır ve kabaca bir matematik kuramı seçilen bir belit sistemi ve seçilen bir mantığın bileşkesidir diyebiliriz; herhangi biri değiştiğinde kuram değişir. En çok kullanılan Aristo mantığıdır, bu arada sezgici mantık (Brouwer) ve son yıllarda belirsiz mantık (Lukasiewicz) kendilerine hatırı sayılır yer yapmışlardır.

Her ne kadar başlangıçta umulanı vermediyse de en çok izlenilen Hilbert’in formel yoludur, bunu kısaca verelim. Bir formel sistem üç kısımdan oluşur. (1) Terimler (Kavramlar): Bunlar tanımsız kavramlar ve türetilmiş kavramlardır. Örneğin $B_{5}$ belit sisteminde Çat ve pat tanımsız kavramlarken “koşut” ve “bir noktadan geçme” türetilmiş kavramlardır (terimlerdir). Besbelli ki türetilmiş terimler tanımsız terimlere dayanılarak tanımlanırlar. (2) Önermeler veya formüller: Sayılabilir çoklukta imlerin sonlu dizilerinden bir kısmı önermeler olarak  belirlenir,  genelde bunları veren bir yöntem vardır. Önermelerden bir kısmı belit olarak seçilmiştir. Örneğin Öklid geometrisini formalleştirmek istediğimizde $B_{1},…,B_{5}$ ve daha başka birkaç önerme belit olarak seçilebilirler. (3) Çıkarım kuralları: Bunlar seçtiğimiz mantığa göre, belitler doğru önermeler olarak alındığında, diğer doğru önermeleri veren kurallardır. Kanıtlar bu kurallara dayanır. Çıkarım kuralları özde önermeler arasında bağıtılardır. Örneğin $R$ bir $n$-li çıkarım kuralı $A_{1}, A_{2},…, A_{n} $ ve $A$ önermeler olmak üzere $R( A_{1},…, A_{n} )= A$ ise $A$ önermesi $R$ kuralına göre $ A_{1},…, A_{n} $ den doğrudan çıkar denir. İncelediğimiz formal sistemi kısaca $F$ ile gösterelim. $F$ de bir kanıt, tanım gereği bir $ A_{1},…, A_{n} $ önermeler dizisidir, öyle ki her bir $A_{i}$   ya    formal sistemimizin bir belitidir, ya da kendisinden önce gelen önermelerin bir kısmından çıkarım kurallarından birine göre doğrudan çıkar. $ A_{1},,…, A_{n} $  Eğer $F$ de bir kanıtsa $A_{n}$ önermesi $F$ de bir teoremdir ve bu kanıta $A_{n}$’nin bir kanıtı denir.

Bir formal sisteme kabaca hiçbir anlamı olmayan bir takım imlerle belli kurallara göre oynanan bir oyun gibi bakabiliriz. Bir örnek oluşturması için Aristo’nun önerme hesabı için bir $M$ formal sistemi verelim.

(1) Tanımsız terimler: İlkel bağlaçlar diyeceğimiz $\neg, \Rightarrow, ()$ ve önerme harfleri diyeceğimiz pozitif tam sayılarla damgalanmış $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, ….$

(2) Önermeler: (a)Tüm önerme harfleri önermedir, (b) $p$ ve $q$ önerme ise $(\neg p)$ ve $(p \Rightarrow q)$ de bir önermedir , (c) tüm önermeler ancak (a) ve (b) ile elde edilebilenlerdir.

Belitler: $p$, $q$ ve $r$ önermeler olmak üzere

(A1) $(p \Rightarrow (q \Rightarrow p))$

(A2) $((p \Rightarrow (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow q) \Rightarrow (p \Rightarrow r)))$

(A3) $((\neg q \Rightarrow \neg p)  \Rightarrow  \Rightarrow ((\neg q \Rightarrow p) \Rightarrow q))$

(3) Çıkarım Kuralları: Bir tek çıkarım kuralımız vardır: $p$ ve $p \Rightarrow q $ dan  $q$ dolaysız çıkar. Bu kuralın adı modus ponensdir. Böylece oluşturulan formel sistemi $M$ ile gösterelim. $p$ ve $q$ önermeler olmak üzere üç yeni kavram tanımlayalım:

$\neg  (p \Rightarrow \neg q)$ yerine $p \land q$

$(\neg p ) \Rightarrow \neg q$ yerine $p \vee q$

$(p \Rightarrow ) \land (q \Rightarrow p)$ yerine $p \Leftrightarrow q$

yazacağız. Karşımızda hiçbir iminin özel bir anlamı olmayan bu formal sistem var. Ancak önerme değişkenleri klasik mantıktaki önermeleri gösterdiğine $\neg$ “değil”, $p \Rightarrow q (p$ ise $q)$ olarak yorumlandığında $\land$ ”ve”, $\vee$ “veya”,$\Leftrightarrow$ “ancak ve ancak” anlamlarını kazanır ve $M$ formal sisteminin teoremleri tamı tamına klasik Aristo önermeler hesabının tüm geçerli önerme kalıplarını (totolojilerini) verir.

 

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1992 yılı 1. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Betül Arslan, Muhammet Boran‘a ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar

Stirling Sayıları, Üreteç Fonksiyonlar ve Kupon Toplama Problemi

Yazar: Ümit Işlak (umitislak@gmail.com) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Model ve ana sorularımız Bu yazıda sizleri çocukluğuma götüreceğim. 1996 yılında Almanya'da düzenlenen Euro 1996 futbol turnuvası Türkiye açısından özel...

Sencer’in Hacimler için Aksiyom Sistemi

Yazar: Alp Eden (alp.eden5@gmail.com) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Kastamonu Lisesi'nden mezun olan Süleyman Sencer (29.01.1912 - 01.06.1947) 1932-1933 yılında Lüben'de dil öğrendikten sonra Berlin ve Leipzig üniversitelerinde...

Matematik Derslerindeki Öğretmen ve Öğrenci Beklentilerinin Sıradışı Sonuçları

Yazar: Abdulkadir Erdoğan (abdulkadirerdogan@anadolu.edu.tr) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Matematik eğitiminin bir disiplin olarak ortaya çıkışında ve gelişiminde matematik öğretme ve öğrenme sürecine özgü olgular yer almaktadır. Matematik...