Bazı Temel Eşitsizlikler

    0
    64

    Albert K. Erkip

    Bu yazımızda ele alacağımız bazı eşitsizlikler belli koşullar altında tüm reel sayıların sağladığı bir takım bağıntılar. Bu tür temel eşitsizlikler problem çözümlerinde ara adım olarak kullanılıyor ve göreceğimiz gibi yeni eşitsizlikler bulmakta işe yarıyorlar.

    Belki de en temel diyebileceğimiz eşitsizlik, herkesin tanıdığı mutlak değer için üçgen eşitsizliği. \[ {|x+y|}\leq {|x|}+{|y|} \]

    Üçgen eşitsizliği her \(x,y\) reel sayısı için doğru. Daha az bilinen bir eşitsizlik ise \(0 \leq(x – y)^2 \) bağıntısını açarak elde edilen, her \(x,y\) için doğru olan \[{2xy}\leq{ x^2 + y^2 }\]

    eşitsizliği. Burada \({a = x^2} , {b = y^2}\) alırsak her pozitif \(a, b\) için \[ \sqrt{ab}\leq\frac{a + b }{2} \hspace{55pt} (1)\]

    bağıntısı çıkar. (1) az sonra göreceğimiz Aritmetik-Geometrik-Harmonik ortalama eşitsizliklerinin özel bir hali. \(x_1,x_2,…,x_n \) pozitif reel sayıları için \[ H= (\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}+…+\frac{1}{x_n})^{-1} \] \[G=(x_1x_2…x_n)^\frac{1}{n} \] \[ A=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n} \]

    değerlerine sırasıyla bu sayıların harmonik, geometrik, aritmetik ortalaması adı verilir. Bu ortalamar arasında her zaman \[H\leq G \leq A \hspace{55pt} (2) \]

    eşitsizlikleri geçerlidir. Dahası, (2)’deki eşitsizliklerden birinin (ve dolayısıyla tümünün) eşitlik olması ancak ve ancak \( x_1 = x_2 = . . . = x_n \) durumunda mümkündür. Bu dediklerimizin kanıtını vermeyip, kanıtların bir kısmı ile bu ortalamaların geometrik anlamlarını Matematik Dünyası’nın ilk sayısında Hüseyin Demir’in “ Bazı Ortalamalar” adlı yazısında okuduğunuzu hatırlatalım.

    Matematikte çokça kullanılan bir diğer eşitsizlik de Cauchy-Schwarz eşitsizliği. Tüm \(a_{1}, a_{2},…, a_{n}\) ve \(b_1,b_2,…,b_n \) reel sayıları için

    \[(a_1b_1 + a_2b_2 + … +a_nb_n)^2 \leq \]

    \[(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +…+b_n^2)\hspace{55pt} (3) \]

    bağıntısı geçerli. Bu eşitsizliğin zarif bir kanıtı var. \( x\) değişkeni için \[ p(x)=(a_1x-b_1)^2 + (a_2x – b_2)^2 +…+(a_nx-b_n)^2 \hspace{55pt} (4) \]

    polinomunu tanımlıyalım. Kareleri açarak

    \[M=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2\]  

    \[N=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n\] \[K=b_1^2+b_2^2+…+b_n^2 \hspace{55pt} (5)\] olmak üzere \[p(x)=Mx^2-2Nx + K \hspace{55pt} (6)\]

    olduğu görülür. Öte yandan (4) bize her reel \(x\) için \( {p(x)} \geq{0} \) olduğunu söyler, o halde diskriminant \(\Delta\leq0 \) olmalıdır . Diskriminantı (6)’dan hesaplayalım, \( \Delta =4N^2-4MK\leq0\) buluruz ki bu da (3) eşitsizliğini verir.

    Kanıtımız bize Cauchy-Schwarz eşitsizliğinde eşitlik durumunu da inceleme olanağı tanır; şöyle ki (3)’te \( N^2=MK\)’dir.(6)’dan dolayı\[p(x)= Mx^2-2\sqrt{MK}x+K=(\sqrt{M}x-\sqrt{K})^2\] olur. Yani \(x_0=\frac{\sqrt{K}}{\sqrt{M}} \) için \( p(x_0)=0\) ‘dır. Bu ise (4)’e göre ancak ve ancak \[a_1x_0=b_1, a_2x_0=b_2 ,…, a_nx_0=b_n\hspace{55pt} (7)\] durumda olur. Özetlersek Cauchy-Schwarz eşitliğinde eşitlik ancak ve ancak \((a_1,b_1),(a_2,b_2),…,(a_n,b_n)\) çiftleri (7)’deki gibi birbirleriyle orantılı iseler vardır

    Yine \( a_1, a_2, …, a_n\) ve \(b_1, b_2, …, b_n\) reel sayılarıyla başlayalım. (5)’teki gösterimle \[(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2+…+(a_n+b_n)^2=M+2N+K\]

    eşitliği açıktır. Cauchy-Schwarz eşitliğinden \(N\leq\sqrt{MK}\) olduğunu biliyoruz , o halde \[M+2N+K \leq M +2\sqrt{MK} = (\sqrt{M}+\sqrt{K})^2 \] ve karekök alırsak, yukarıdaki eşitlikten:\[\sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2+…+(a_n+b_n)^2}\leq\]

    \[\sqrt{a_1^2+a_2^2+…+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+…+b_n^2}\hspace{55pt} (8)\] eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğe Minkowski ya da üçgen eşitsizliği adı verilir.

    Vektörleri gözönüne alırsak Minkowski eşitsizliğinin geometrik anlamını çıkarabiliriz. Düzlemde \(\overrightarrow{\rm A}=(a_1, a_2) \) ve \(\overrightarrow{\rm B}=(b_1, b_2) \) vektörlerini ele alalım. \(n=2\) için Minkowski eşitsizliğini vektör uzunlukları cinsinden \(|\overrightarrow{\rm A}+\overrightarrow{\rm B}|\leq|\overrightarrow{\rm A}|+|\overrightarrow{\rm B}|\) şeklinde yazabiliriz, bu da (8)’e neden aynı zamanda üçgen eşitsizliği denildiğini açıklar.

    Yine vektörler dilinde Cauchy-Schwarz eşitsizliğini anlamaya çalışalım; yukarıdaki \(\overrightarrow{\rm A}\) ve \(\overrightarrow{\rm B} \) vektörleri için \(a_1b_1 + a_2 b_2\) değeri \(\overrightarrow{\rm A}\cdot\overrightarrow{\rm B}\) iç çarpımıdır. Öte yandan bu iki vektör arasındaki açı \(\theta \) ise iç çarpım için \(\overrightarrow{\rm A}\cdot\overrightarrow{\rm B}=cos\theta\)\(|\overrightarrow{\rm A}|\cdot|\overrightarrow{\rm B}|\) bağıntısını biliyoruz. Bunları birleştirirsek \(n = 2\) için Cauchy-Schwarz eşitsizliği bildiğimiz \( \mid \cos\theta \mid\leq1\) eşitsizliğine denktir. Eşitlik durumunu \( |\cos\theta|=1\) halidir ki bu da \(\theta=0 \) veya \(\theta=\pi\) radyan, yani \(\overrightarrow{\rm A}\) ve \(\overrightarrow{\rm B} \) vektörleri birbirlerine paralel demektir.

    Üçgen eşitsizliğinde eşitlik durumunu ve bunun geometrik anlamını incelemeyi size bırakalım.

    Verdiğimiz bu birkaç temel eşitsizlik bile çok sayıda problemi çözmek ve yeni eşitsizlikler türetmek mümkün. Bazı örnekler verelim.

    1. Çevresi verilen üçgenler arasında alanı en büyük olanı bulunuz. Üçgenin kenarları \( a, b, c \) ise yarı çevre \( s = \frac{1}{2} (a +b+c) \) cinsinden alan için \[A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] Bağıntısını biiliyoruz. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden: \(s(s-a)(s-b)(s-c)\leq(\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{3})^3= (\frac{s}{3})^3\)

    Yani:

    \[A^2=s(s-a)(s-b)(s-c)\leq\frac{s^3}{27}=\frac{s^4}{27}\]

    Alan için \( A\leq \frac{s^2}{3\sqrt{3}} \) üst sınırını bulduk. Öte yandan eşkenar üçgen için \( A= \frac{s^2}{3\sqrt{3}} \) olduğundan çevresi verilen üçgenler içinde en büyük alanı olanın eşkenar üçgen olduğunu kanıtlamış olduk \( a = b = c \) eşkenar üçgen durumunun \( s- a = s-b = s-c\) hali, yani Aritmetik-Geometrik eşitsizlikte eşitlik hali olduğuna dikkat ediniz.

    2. a, b, c pozitif sayıları için\( (1+abc)^3\leq (1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\) eşitsizliğini kanıtlayınız. \[(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)= \] \[1 + (a^3+b^3+c^3) + ( a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^3b^3c^3\]

    Aritmetik-geometrik eşitsizlikten \[\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq abc\] \[\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{3}\geq ( a^3b^3 b^3c^3 c^3a^3 )^{1/3} = (abc)^2 \]

    elde ederiz. Bunları yerine koyarsak aradığımızı elde ederiz. \[(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\leq \] \[1+3abc+3(abc)^2+(abc)^3 =(1+abc)^3 \]

    Eşitlik halini irdeleyelim; iki Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinde de eşitlik olmalıdır, bu ise ancak \( a=b=c\) durumunda olur.

    Pozitif \(a_1,a_2, … ,a_k \) sayıları için \[\frac{1}{a_1+a_2+…+a_k} \leq \frac{4}{k^2(k+1)^2}( \frac{1^2 }{a_1}+ \frac{2^2 }{a_2}+…+\frac{k^2 }{a_k} ) \] Eşitsizliğini kanıtlayınız. İstenen Aritmetik-Harmonik ortalama eşitsizliğinin ters çevrilmiş halini andırıyor, ancak biraz oynamak gerekecek. \[a_!+a_2+…+a_k= \]

    \[a_1+\frac{a_2 }{2}+\frac{a_2 }{2}+\frac{a_3 }{3}+\frac{a_3 }{3}+\frac{a_3 }{3}+…+\frac{a_k }{k}+…+\frac{a_k }{k}\]

    yazalım,sağ tarafta \(n=\frac{k(k+1) }{2} \) terim var. Bu terimlere Aritmetik-Harmonik eşitsizliğini uygularsak isteneni bulduğumuzu görüyoruz \[ \frac{n }{ 1/a_1+2/a_2+2/a_2+…+k/a_k+…+k/a_k } \leq\]

    \[ \frac{a_1+\frac{a_2 }{2}+\frac{a_2 }{2}+\frac{a_3 }{3}+\frac{a_3 }{3}+\frac{a_3 }{3}+…+\frac{a_k }{k}+…+\frac{a_k }{k} }{n} \] Bu eşitsizlikteki eşitlik durumunu inceleyiniz.

    4. \(x_1+x_2+…+x_n=1 \) koşulu altında \[ d=\frac{x_1^2}{1}+\frac{x_2^2}{2}+…+ \frac{x_n^2}{n} \] sayısının alabileceği en küçük değeri bulunuz. Burada Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanmamız gerekecek. Bunun için aşağıdaki gruplamayı yapacağız. \[1=x_1+x_2+…+x_n=1-x_1+\sqrt{ 2} \cdot \frac{x_2 }{\sqrt{ 2}} +… +\sqrt{ n} \cdot \frac{x_n }{\sqrt{ n}} \] Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden: \[1-(1-x_1+\sqrt{ 2} \cdot \frac{x_2 }{\sqrt{ 2}} +… +\sqrt{ n} \cdot \frac{x_n }{\sqrt{ n}}\leq\] \[ (1+2+…+n)(\frac{x_1^2}{1}+\frac{x_2^2}{2}+…+ \frac{x_n^2}n) \] \((1+2+…+n)=\frac{ n(n+1)}{2} \) olduğundan; \(d\leq (1+2+…+n)=\frac{ 2}{n(n+1) } \) olduğunu gösterdik. Şimdi uygun \(x_1,x_2, . . . ,x_n \) için \(d =( 1+2+…+n)=\frac{2}{n(n+1)} \) değerini elde etmeye çalışalım. Bu Cauchy-Schwarz eşitsizliğindeki eşitlik durumudur ki ancak \[ (1,x_1),(\sqrt{ 2}, \frac{x_2 }{\sqrt{ 2}} ),…,(\sqrt{ n}, \frac{x_n }{\sqrt{ n}} ) \] çiftleri orantılı ise , yani \(x_2=2x_1, …, x_n=nx_1 \) ise olur . Öte yandan \(x_1 +x_2 + … +x_n =1 \) olduğundan; \[ x_1=\frac{ 2}{n(n+1) } ,x_2=2x_1,…,x_n=nx_1 \] için \( d= \frac{ 2}{n(n+1) } \) bulunur. Temel eşitsizlikler, genellemeleri ve kullanılmaları ile ilgili önerebileceğimiz kaynaklar arasında bu derginin birinci sayısında tanıtılan Matematik Derneği yayınlarından P.P Korowkin’in “ Eşitsizlikler” ve E. Beckenbach ile R.Bellman’ın “ Eşitsizliklere giriş” adlı kitapları var. Yine geçen sayıda, bu köşede değindiğimiz “ The U.S.S.R Olimpiad Problem Book” çok sayıda eşitsizlik problemi içeriyor. Yazıyı aralarında iki olimpiyat problemi yer alan birkaç soru ile bitirelim.

    1. \(x^2+4y^2=1\) koşulu altında \(d = 2x+3y\) sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz. Problemin geometrik anlamını inceleyiniz.

    2. \(a, b\) pozitif reel sayıları ve \(n, k\) tam sayıları için \[a^kb^n\leq(\frac{ka+nb }{k+n } )^{n+k} \] eşitsizliğini kanıtlayınız.

    3. \(a_i,b_i,c_i,d_i\) reel sayıları için \[\sum_{i=1}^n {( a_ib_ic_id_i} )^4 \leq \sum_{i=1}^n {a_i}^4\sum_{i=1}^n {b_i}^4\sum_{i=1}^n {c_i}^4\sum_{i=1}^n {d_i}^4 \] eşitsizliğini kanıtlayınız, eşitlik durumunu irdeleyiniz.

    4. \(a_i, b_i, c_i\) pozitif reel sayıları için \[ \sum_{i=1}^n {(a_ib_ic_i})^3\leq \sum_{i=1}^n {a_i}^3\sum_{i=1}^n {b_i}^3\sum_{i=1}^n {c_i}^3 \] eşitsizliğini kanıtlayınız.

    5. (1984 olimpiyat sorusu) \( x+y+z=1\) ise

    \[ 0 \leq xy+yz+xz-2xyz\leq\frac{7}{27} \] eşitsizliklerini kanıtlayınız.

    6. (1979 olimpiyat sorusu) \[x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5 = a\] \[x_1+2^3x_2+3^3x_3+4^3x_4+5^3x_5= a^3\] \[x_1+2^5x_2+3^5x_3+4^5x_4+5^5x_5= a^5 \] denklem takımının tüm \(a\) ve negatif olmayan \(x_1, x_2, … , x_5 \) çözümlerini bulunuz.