Pentagramın Sırrı

    0
    75
    Şahin Koçak, Anadolu Üniversitesi Matematik Bölümü, skocak@anadolu.edu.tr

    Ezoterik Pisagor tarikatının sembolünün neden bir kare, ya da “Pisagor Teoremi”ni sembolize eden üçlü bir kareler deseni değil de, bir “Pentagram” olduğunu hep merak etmişimdir. İhtimal “Pisagor Teoremi”ni Mısır’dan ya da Babil’den öğrenmişler ve kendi yaratıları olarak görmemişlerdi. Ama ne Mezopotamya’da, ne Hint’te, ne Çin’de ne de başka bir uygarlıkta akıllara gelmeyen çok büyük bir keşif yaptılar ve bu keşif belki de doğal sayıların sihrine kapılmış olan kendi dünyalarının sonunu getirdi: İnkommensürabilite, irrasyonalite, ya da dilimizdeki güzel karşılığıyla, ortak ölçüsüzlük! Bu keşfi yapanın suda boğularak öldürüldüğü şeklindeki rivayetler, bu keşfin dönemin toplumsal bilinçaltında açtığı derin yaranın günümüze kadar gelen izleri gibi görünüyor. Tabii bu keşifle 19. Yüzyılın büyük matematikçilerinin bile baş etmesinin kolay olmamış olduğunu hatırdan çıkarmamak gerekiyor.

    Peki Pisagorcular hangi sayının irrasyonel olduğunu keşfetmişlerdi? Tarihin sisli derinliklerinde kaybolmuş görünen bu husustaki genel kabul, bu sayının $\sqrt 2$  olduğu, yani bir karenin köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranı olduğu şeklinde. Ama ben bunu biraz şüpheyle karşılıyorum. Öklid’de (Pisagorculardan birkaç yüzyıl sonra) $\sqrt 2$’nin irrasyonel olduğunun, bugün her yerde anlatılan güzel ispatını buluyoruz. Kısa süre önce de (2000 yılında, yani Pisagorculardan 2500 yıl sonra) Apostol $\sqrt 2$’nin irrasyonelliği için, herhalde Eski Yunanlıların da gıpta edeceği harika bir ispat verdi ([1]).

    Bana öyle geliyor ki, Pisagorcular bu büyük keşfi düzgün beşgen üzerinde yapmış ve bu sırrın gömülü olduğu “Pentagram”ı gizemli tarikatlarının sembolü olarak seçmiş olabilirler:

    Pentagam


    $\frac{AB}{BC}$ oranının rasyonel olduğunu kabul edelim. (Gösterim yalınlığı açısından, $AB$ doğru parçasının uzunluğunu da $AB$ ile gösterelim.) $ABC$ ve $BCD$ üçgenleri benzer. O halde, $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD}$. $BC = CD = AD$ olduğundan, demek ki $\frac{AB}{BC}$ oranı “Altın Oran”. $m$ ve $n$ aralarında asal doğal sayılar (yani $\frac{m}{n}$ kısaltılamaz) olmak üzere, $\frac{AB}{BC} = \frac{m}{n}$ olsun. ($m > n$ olduğuna dikkat edelim.) Bu durumda $\frac{BC}{BD} = \frac{n}{m-n}$ olur. Çelişki! Demek ki, “Altın Oran” irrasyonel!


    [1] T. M. Apostol, Irrationality of The Square Root of Two – A Geometric Proof, Amer. Math. Monthly, 107, 841–842, 2000.