Waring problemi

    0
    54

    Alev Topuzoğlu

    Geçen sayıdaki yazımızda kenarları tamsayı olan dik üçgenlerden bahsetmiştik. Böyle üçgenleri Pisagor Üçgenleri, $a^2 + b^2 = c^2$ bağıntısını sağlayan $(a, b, c)$ pozitif tamsayı üçlülerini de Pisagor Üçlüleri olarak adlandırmıştık. $a, b$ nin en büyük ortak böleni 1 ise $(a, b, c)$ üçlüsüne Temel Pisagor Üçlüsü denir.

    Temel Pisagor Üçlüleri’nin tümünün, biri tek biri çift, birbirlerine göre asal $(x, y)$ pozitif tamsayı ikililerinden $a = 2xy, b = x^2 – y^2, c= x^2 + y^2$ eşitlikleri yoluyla elde edebileceğimizi de biliyoruz ([6], Teorem A). $(x, y)$ ikilisine $(a, b, c)$ nin doğuranı denir. Pisagor üçlülerinin doğuranlarıyla elde edilebileceğini Mezopotamyalılar, Pisagorcular biliyordu. Eski Yunan Matematiğinin “Geç İskenderiye Dönemi” (ya da Gümüş Dönemi; M.S. 250-350) matematikçilerinin en ünlüsü İskenderiyeli Diofant da kuşkusuz bunu biliyordu. Hatta $(x, y)$ ‘den $(a, b, c)$ ‘yi elde etme yöntemi için özel bir sözcük kullanıyordu. Bu, “biçim vermek” anlamına gelen “$\pi\lambda\alpha\sigma\sigma\epsilon\iota\nu$” sözcüğüydü. Diofant’ın yaşamı hakkında İskenderiye Okulu’nda olması dışında kesin birşey bilinmiyor. M.S. 3. yüzyılda yaşamış olduğu sanılıyor. Diofant üç kitap yazdı. Bunlardan “Porizmalar” (Önermeler) kayboldu. “Poligonal Sayılar Üzerine” adlı kitabın sadece kısa bir parçası zamanımıza kaldı. Yüzyıllar sonra Sayılar Teorisinin gelişmesine önemli katkısı olan 13 ciltlik “Aritmetik” adli kitabın ise sadece 6 cildi zamanımıza kadar geldi.

    Aritmetik $(\alpha\rho\iota\theta\mu\nu\tau\iota\kappa\eta)$ sözcüğü Eski Yunanca’da sayı anlamına gelen “aritmos” sözcüğünden türetiImiş. Eski Yunanlılar “sayıların özelliklerinin sistematik bir şekilde incelenmesi” için aritmetik sözcüğünü, günlük hesaplamalar için ise logistik $(\lambda o \gamma\iota\sigma\tau\iota\kappa\eta)$ sözcüğünü kullanırlardı.

    Diofant’ın “Aritmetik” kitabında 130 kadar problem var. Bu problemlerde cebirsel denklemlerin ve denklem sistemlerinin tamsayı veya rasyonel çözümleri bulunuyor. Kitaptan birkaç örnek verelim:

    Problem 29, Cilt II: Öyle iki (rasyonel) kare sayı bulunuz ki çarpımlarına sayılardan herhangi birini ekleyince, sonuç gene kare olsun.

    Problem 7, Cilt III: Öyle üç (rasyonel) sayı bulunuz ki üçünün toplamı ve herhangi ikisinin toplamı kare sayılar olsun.

    Problem 11, Cilt IV: Öyle iki (rasyonel) sayı bulunuz ki toplamları, küplerinin toplamına eşit olsun.

    Diofant’ın konuyu ilk ortaya atan kişi olması nedeniyle zamanımızda tamsayı veya rasyonel sayı çözümlerin arandığı cebirsel problemlere “Diofant Problemleri” denir.

    “Aritmetik”in III. cildinde 19. problem ise Hipotenüsü aynı (65) olan 4 ayrı Pisagor üçgeninin bulunması. Diğer bir deyişle $a^2 +b^2 =65^2$ eşitliğini sağlayan 4 ayrı $(a, b, 65)$ üçlüsünün bulunması. Diofant, önce bu üçgenlerden ikisini, bilinen Pisagor üçgenlerinden kolayca elde ediyor; (3, 4, 5) üçlüsünün 13 katı yani $(3 \times 13, 4 \times 13, 5\times 13) = (39, 52, 65)$ üçgeni ile (5, 12, 13) üçlüsünün 5 katı yani $(5 \times 5,12 \times 5, 13 \times 5) = (25,60, 65)$ üçgenini buluyor. Diğer iki üçgeni ya da üçlüyü bulmak için doğuranları kullanıyor. $x^2 + y^2 = 65$ olacak şekilde $(x, y)$ ikililerini buluyor. $65 =7^2 + 4^2$ eşitliğinden $x = 7, y = 4$  alarak $(2xy, x^2 – y^2, x^2 + y^2) = (56, 33, 65)$ üçlüsünü ve $65 = 8^2 + 1^2$ eşitliğinden $x = 8, y = 1$ alarak (16, 63, 65) üçlüsünü elde ediyor. Son iki üçlü temel Pisagor üçlüleri tabii. İlk ikisi ise değil.

    (65’in bir temel Pisagor Üçgeninin hipotenüsü olabilmesi için iki karenin toplamı olarak yazılabilmesi gerektiğine dikkat edin!).

     Diofant çözümünden sonra şunu ekliyor;

    “65 iki karenin toplamı olarak iki değişik şekilde yazılabilir. Bu 65’in, kendileri de iki karenin toplamı olarak yazılabilen 5 ile 13 sayılarının çarpımı olmasındandır”;

    $$65 = 5\cdot 13 = (4^2 + 1^2)(3^2 + 2^2)$$

    Diofant burada şu denkliği kullanıyor;

    $$\begin{eqnarray} (u^2 + v^2)(z^2 + t^2) &=& (ut + yz)^2 + (uz – vt)^2\\ &=& (ut – vz)^2 + (uz + vz)^2\;\;\;\; (I) \end{eqnarray}$$

    $u = 4, v = 1, z = 3, t = 2$ alırsanız

    $$ 65 = 5\cdot 13 = 8^2 + 1^2 = 7^2 + 4^2$$ 

    bulursunuz.

    Diofant’ın (1) denkliğini Önermeler kitabında kanıtladığı sanılıyor.

    (1) denkliğinin $z = t = 1$ özel durumu yani

    $$2(u^2 + v^2) = (u + v)^2 + (u – v)^2 \;\;\;\; (2)$$

    denkliği Öklid’in “Elementler” kitabında kanıtlanmıştır (Cilt II, Önerme 9).

    “Aritmetik” ‘in yazılışından yaklaşık 1300 yıl sonra Fransa’dayız. 1621 yılında matematikçi olmamakla beraber matematiğe çok ilgi duyan Claude Gasper Bachet, “Aritmetik”in Yunanca aslını Latinceye çevirisi ve kendi fikirlerini de ekleyerek yayınladı. Bachet, (Başe okunur) yukarıda değindiğimiz III. Ciltteki 19. Problemden sonra şu soruyu soruyordu; Bir sayı kaç değişik Pisagor üçgeninin hipotenüsü olabilir?

    Bu soruya yanıtın önemli kısmı Pierre Fermat’nın 1640’ta Mersenne’e (Mersenne asal sayı —duymuşsunuzdur belki!) yazdığı mektupta.

    Fermat (Ferma okunur) 1601 ‘de doğdu. Hukuk eğitimi gördü, 1631’de Toulouse parlementosuna üye seçildi ve 1665’te ölümüne değin bu görevinde kaldı. Fermat çok iyi bir eğitim almıştı. Yunanca, İtalyanca ve İspanyolca biliyor ve çeşitli dillerde şiir yazıyordu. Kitap toplamaya meraklıydı. Kitapları arasında Bachet’nin yayımladığı “Aritmetik” de vardı.

    Fermat’nın matematiğini büyük ölçüde zamanın matematikle ilgilenen diğer ünlülerine gönderdiği mektuplardan ve “Aritmetik” kitabının sayfalarındaki boş yerlere yazdığı notlardan öğreniyoruz. Oğlu Samuel Fermat, babasının ölümünden sonra 1670 yılında “Aritmetik” kitabını babasının sayfa aralarına yazdığı notlarla birlikte yayınladı. Aşağıda bu kitabın kapak sayfasını görüyorsunuz.

    Bachet’nin sorusuyla ilgili yanıtlanması gereken problem hangi sayıların iki karenin toplamı olarak yazılabileceğidir. Önce hangi asal sayıların iki karenin toplamı şeklinde yazılabileceği sorusu var. $5, 13, 17$ sayıları Pisagor üçgenlerinin hipotenüsleri, başka bir deyişle iki karenin toplamı. Ancak hipotenüsü 7 veya 1 olan Pisagor üçgenleri yok. 5, 13, 17 sayılarının ortak özelliği nedir? Tahmin edebilir misiniz? Bu sayıların herbirinin tek olduğu yani 2’ye bölününce kalanın 1 olduğu açık. Ya 4’e bölününce? $5 = 1\cdot 4 + 1, 13 = 2\cdot 4 + 1, 17 = 4\cdot 4 + 1$; kalan yine 1.

    Diğer yandan $7 = 1\cdot 4 + 3, 11 =  2\cdot 4 + 3$; kalan 3. (Bir tek sayı 4’e bölündüğünde kalanın ya 1 ya da 3 olacağını anımsayınız.) O halde 5, 13, 17 sayıları uygun bir $n$ için $4n + 1$ şeklinde yazılabilir. 7, 11 ise yazılamaz. Evet, tahmininiz doğru; “$4n +1$ formundakİ asal sayılar iki karenin toplamı olarak (tek şekilde) yazılabilir.” (Fermat, 1640) Bu önermenin kanıtını vermeyeceğiz (Bkz. [3]). Ancak “$4n + 3$ şeklindeki asal sayılar iki karenin toplamı şeklinde yazılamaz” önermesinin kanıtı kolay; 

    $p = 4n + 3$ bir asal sayı olsun. $p$’nin iki kare toplamı $p = x^2 + y^2$ olduğunu kabul edelim. $4n + 3$ tek olduğuna göre $x^2$ ve $y^2$’nin ikisi de tek veya ikisi de çift olamaz. $y^2$ tek olsun. Bu durumda $x^2$ çift, dolayısıyla $x$ çifttir. Yani  $(x^2)/4$ bir tamsayıdır. $4n = x^2 + y^2 – 3$ olduğuna göre $n = (x^2)/4 + (y^2 – 3)/4$ buluruz, $n$ ve $(x^2 )/4$ tamsayı olduklarına göre $(y^2 – 3)/4$ de bir tamsayıdır. Bu sayıya $k$ diyelim. $(y^2 – 3)/4 = k, y^2 – 3 = 4k, y^2 = 4k + 3$ olur. $y^2$ tek olduğuna göre $y$ de tektir; $y = 2m + 1$ şeklinde yazılabilir. $y^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2 + m) + 1$ elde ederiz ki bu da $y^2 =  4k + 3 = 4(m^2 + m) + 1$ çelişkisini verir. O halde baştaki $4n + 3 = x^2 + y^2$ kabulümüz olanaksızdır.

    Yukarıdaki (1) ve (2) denkliklerinden 2 ile $(4n + 1)$ formundaki asalların çarpımının iki kare toplamı olacağı açık. Ayrıca herhangi bir $k$ tamsayısı için $k^2(x^2+ y^2)= k^2x^2 + k^2y^2 = (kx)^2 + (ky)^2$ eşitliğinden şu sonuca varabiliriz:

    $N$ herhangi bir tamsayı, içindeki en büyük kare çarpan $m^2$ ve $N = N_0m^2$ olsun. Eğer $N_0, 2$ ile $4n + 1$ formundaki asalların çarpımı ise $N, 2$ karenin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu durumda $N$ sayısının kaç değişik şekilde karelerin toplamı olarak yazılabileceği ise $N$’nin asal çarpanlarının sayılarına ve kuvvetlerine bağlı ([7]). Bu yazıda sadece birkaç örnekle yetineceğiz; 

    (1) $720 = 2^4\cdot 3^2\cdot 5 =  5\cdot (4\cdot 3)^2 = 5\cdot 12^2$ ve $5 = 4\cdot 1 + 1$ olduğu için 720 iki karenin toplamıdır;

    $$720 = 12^2\cdot 5 =  12^2 (2^2 + 1) =  24^2 + 12^2.$$

    (2) $1105 = 5\cdot 13\cdot 17 = (4\cdot 1 + 1)(4\cdot 3 + 1)(4\cdot 4 + 1)$ olduğu için iki karenin toplamıdır. 1105, 4 ayrı şekilde iki karenin toplamı olarak yazılabilir. (I) denkliğini kullanarak

    $$\begin{eqnarray*}5\cdot 13 &=& 8^2 + 1 = 7^2 + 4^2\\5\cdot 17 &=& 9^2 +  2^2 = 7^2 + 6^2\\13 \cdot 17 &=& 14^2 + 5^2 = 11^2 + 10^2\\1105 =  33^2 +4^2 &=& 32^2 +9^2 = 31^2 + 12^2 = 24^2 + 23^2\end{eqnarray*}$$

    elde ederiz.

    (3) $99 = 3^2 \cdot 11$ ise iki karenin toplamı değildir çünkü $11 = 4\cdot 2 + 3$.

    Öyleyse herhangi bir sayıyı karelerin toplamı olarak yazabilmek için 2 kare yeterli olmayabilir. Acaba 3 kare yeterli midir? Örneğin $43 = 4\cdot 10 + 3$ iki kare toplamı değil fakat

    $$43 = 5^2 + 3^2 + 3^2.$$

    Ancak 47 sayısını incelerseniz 47’nin 2 karenin hatta 3 karenin toplamı olarak yazılamayacağını görürsünüz, ama 4 karenin toplamı olarak (iki şekilde) yazılabilir;

    $$\begin{eqnarray*} 47 &=& 6^2 + 3^2 + 1^2 + 1^2 \\ &=& 5^2 +3^2 +3^2 + 2^2\end{eqnarray*}$$

    Bachet, her sayının en fazla 4 karenin toplamı olarak yazılabileceğini iddia etti. Aslında Diofant da bunu bazı problemlerin çözümünde kullandı. Fermat “Aritmetik” kitabına yazdığı notlardan birinde bu iddianın doğruluğunu kanıtladığım söylüyordu. Roberval’e yazdığı bir mektupta kanıt için (gelecek sayıda değineceğimiz) sonsuz azalma yöntemini kullandığını söylüyor ve ekliyor:

    … Sayılar teorisinde başka hiçbir şey bu teoremin kanıtı kadar hoşuma gitmedi. Bu kanıtı siz de bulmaya çalışırsanız gerçekten sevinirim. Bunun sandığımdan kolay olması ve benim buluşuma fazlaca değer verdiğimi göstermesi olasılığına rağmen…

    [5]

    Fermat’nın kanıtının doğru olup olmadığım bilemiyoruz. Yaklaşık 100 yıl sonra, 1770’te Fransız matematikçi J. L. Lagrange ilk kanıtı yayınladı. Aynı yılda İngiltere Cambridge Üniversitesi’nden Edward Waring (1734-1798) “Meditationes Algebraicae” adlı kitabını yayınladı. Waring herhangi bir sayının küplerin toplamı olarak yazılabilmesi için en fazla 9 küp sayının, dördüncü kuvvetlerin toplamı olarak yazılabilmesi için de en fazla 19 dördüncü kuvvetin yeterli olacağını söylüyordu; (Her $n \in\mathbb Z^+$ için $n = x_1^3 + \cdots + x_9^3$ ve $n = y_1^4 +\cdots + y_{19}^4$). 1782’de Waring benzer özelliğin 4’ten büyük kuvvetler için de doğru olduğunu ileri sürdü. Waring Problemi olarak adlandırılan bu iddia matematikçileri uzun yıllar uğraştırdı.

    Waring Problemi: Her $n$ pozitif tamsayısı en fazla $N(k)$ sayıda $k$’ıncı kuvvetin toplamı olarak yazılabilir. ($n = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{N(k)}^k$). $N(k), n$ sayısına bağımlı değildir.

    Yukarıda $N(2) = 4$ olduğunu Lagrange’ın kanıtladığım belirttik. Waring, $N(3) = 9$ ve $N(4) =19$ olduğunu iddia ediyordu. Liouville 1859’da $N(4) \le 53$ eşitsizliğini, Wieferich 1909’da $N(3) = 9$ olduğunu gösterdiler.

    Hilbert, Waring’in iddiasının her $k$ için doğru olduğunu 1909’da kanıtladı. Ancak Hilbert’in kanıt yöntemi verilen bir $k$ için $N(k)$ sayısının nasıl bulunacağı hakkında fikir vermiyordu. İngiliz matematikçileri Hardy ve Littlewood 1920’Ierde yaptıkları çalışmalarda Hilbert’inkinden değişik bir yöntemle Waring’in iddiasının doğruluğunu kanıtlarken $N(k)$ sayısının bulunması hakkında önemli ipuçları verdiler. Vinogradov’un geliştirdiği bu yeni yöntemi kullanarak Dickson, Pillai, Rubugunday ve Niven $k \ge 6$ için $N(k)$ değerlerini buldular. 1964’te Chen $N(5) = 37$ olduğunu gösterdi.

    Böylece Waring probleminin tam olarak çözülebilmesi (verilen her $k$ için $N(k)$ sayısının bulunması) için geride kalan tek sorun $k = 4$ için $N(4) = 19$ olduğunun gösterilmesiydi. Bu  son problem ancak 5 yıl önce, 1986’da R. Balasubramanian, J.-M. Deshoillers ve F. Dress tarafindan çözüldü ([1]). Kullandıkları yöntem ilginç; bu matematikçiler $10^{357}$’den büyük sayıların en fazla 19 dördüncü kuvvetin toplamı olarak yazılabileceğini esas olarak Hardy – Littlewood – Vinogradov yöntemini kullanarak kanıtladılar. $10^{378}$’den küçük sayılar için $N(4) = 19$ olduğunu ise karmaşık algoritmalar geliştirerek bilgisayarla gösterdiler.

    Waring probleminin pek çok genellemesi var. Bunlardan sadece ikisine değinelim:

    Asal Waring Problemi: Her pozitif $n$ sayısı en fazla $M(k)$ sayıda asal sayının $k$’ıncı kuvvetlerinin toplamı şeklinde yazılabilir. $M(k)$ sadece $k$’ye bağlıdır.

    Bu problemin çözümünde de Hardy – Littlewood – Vinogradov yöntemi kullanılır (Bkz. [4]).

    Polinomsal Waring Problemi: $f(x)$, katsayıları tamsayılar olan ve bir $m \in \mathbb Z^+$ için $f(m) = 1$ değerini alan bir polinom olsun. Her pozitif $n$ tamsayısı $f(x)$ polinomunun ($n$’den bağımsız) $N_f$ sayıda değerinin toplamı olarak yazılabilir; $n = f(x_1) +\cdots + f(x_{N_f}).$ (Waring probleminde $f(x) = x^k$). Bu problem Kamke tarafından 1921’de çözüldü.

    Waring problemi hakkında daha fazla bilgi için [2]’ye başvurabilirsiniz.

    Kaynakça

    1. R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers, F.Dress. “Probleme de Waring pour le bicarrâs”, C.R.A.S. 303 (1986), 65-86 ve 161163.

    2. W.J. Ellison. “Waring’s problem”, Amer. Math. Month. 78 (1971), 10-36.

    3. G.H. Hardy, E.M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1979 (5. basım).

    4. L.K. Hua. Additive Prime Number Theory, Amer. Math. Soc. 1965.

    5. O. Ore. Number Theory and its History, McGraw-Hi11, 1948.

    6. A. Topuzoğlu. “Pisagor Teoremi; ya Öncesi” Matematik Dünyası, 1, Sayı 2, (1991) 26-29.

    7. A. Weil, Number Theory, An Approach Through History, Birkhâuser Boston Inc. 1984.