Yazar: Sinem Onaran, sinemocelik@gmail.com
Yıl: 2026-1
Sayı: 121
Düğümler muhtemelen ateş ve tekerleğin bulunmasından da önce hayatımıza girmiştir. İnsanların kullandığı ilk araçlardır; kıyafet yapımı, balık tutmak için ağ yapımı, zamanı belirleme, hesap tutma, köprü ve ev yapımı gibi alanlarda kullanılmıştır. Düğümler efsanelerde, çeşitli hikâye ve sembollerde ve sembolizm alanında karşımıza çıkar.
Bir efsaneye göre, Frigya kralı Gordios’un attığı düğümü her kim çözmeyi başarırsa o kişi Asya’nın hükümdarı olacaktır. Kral Gordios’un attığı düğüm Gordion düğümüdür. Kralın ölümünden yüzyıllar geçmesine rağmen Gordion düğümü ilk günkü sağlamlığı ile kalır, ta ki Makedonya kralı Büyük İskender, fetihleri sırasında Gordion kentine uğrayana kadar. İskender, düğümü çözmek için uğraşır, ancak ne kadar çabalarsa çabalasın başarılı olamaz. Sonunda, genç İskender sabırsızlık ve öfkeyle kılıcını çeker ve düğümü keser. Böylece kehaneti yerine getirmiş olur.
Büyük İskender’in, Gordion düğümünü keserken temsili bir resmi.
Gordion düğümünü çözmesi nedeniyle mi bilinmez, ama Büyük İskender gerçekten de Asya’nın hükümdarı olmuştur. Ancak İskender’in 33 yaşında ani bir ateşli hastalıktan ölümü, düğümü çözmek yerine sabırsızca davranmasının bir sonucu olarak yorumlanır. Bu hareketi ise, “Gordion düğümünü kesmek” deyimiyle, karmaşık sorunları radikal ve beklenmedik bir çözümle halletmenin simgesi haline gelir.
İrlanda ve İskoçya gibi Kelt kültürlerinde Kelt düğümleri yaygın olarak görülür. Bu düğümler, yaşamın ve doğanın sonsuz döngülerini temsil eder. Kelt mitolojisinde, bu düğümlerin kötü ruhları uzak tutmak ve koruma sağlamak için kullanıldığına inanılır.
Kelt düğümleri örnekleri.
İskandinav Mitolojisi’nde, tanrıların ve kahramanların hikâyelerinde düğümler önemli bir rol oynar. Borromean link, üç çözük düğümün birleşiminden oluşur. İskandinav mitolojisinde Odin ile ilişkilendirilmiş Valknut sembolü olarak bilinmekte ve güç ile cesaret anlamında kullanılmaktadır.. Borromean link, temeli 1300’lü yıllarda atılan İtalyan aristokrat Borromeo ailesinin sembolü olarak da kullanılmıştır.
Şekil 1: Matematik’te kullandığımız Borromean link ve İskandinav Mitolojisi’nde sembol olarak kullanılan hali.
Çin Düğüm Sanatı (Zhongguo Jie), Çin kültüründe derin köklere sahip olan bir el sanatıdır. Bu düğümler, uğur getirmesi ve kötü ruhları uzak tutması amacıyla yapılır. Farklı renkler ve düğüm desenleri farklı anlamlar taşır. Örneğin, kırmızı düğümler mutluluğu ve iyi şansı simgelerken, yeşil düğümler sağlık ve uzun ömrü simgeler. Çin Yeni Yılı ve diğer önemli festivallerde sıkça kullanılır.
Çin Düğüm Sanatına bir örnek.
Matematiksel olarak yedi çaprazlamaya sahip $7_4$ düğümü; sonsuz düğüm olarak adlandırılmış ve Budizmin sembolü olarak kullanılmıştır; uzun ömürlülüğü, her şeyin birbirine bağlılığını temsil eder.
Şekil 2: $7_4$ düğümü ve Budizmin Sembolü olarak kullanılan hali.
Matematiksel anlamda düğümlerin tarihini incelediğimizdeyse, düğümler ilk olarak Fransız matematikçi Alexandre-Théophile Vandermonde’un 1771 yılındaki bir makalesinde karşımıza çıkar. Vandermonde, nesnelerin belirli bir sayıda farklı düzenlemesinin sayısını belirlemeye yönelik kombinatorik bir problem ortaya atmıştır. Makalesi düğüm teorisiyle doğrudan ilgili olmasa da kombinatorik yaklaşımların temelini atmış ve düğümlerin matematiksel incelenmesine katkıda bulunmuştur.
Düğüm teorisi ile ilgili ilk çalışmalar ise Gauss (1833) tarafından yapıldı. Gauss, uzay eğrilerinin geometrisi ve fiziği ile ilgileniyordu ve çalışmalarıyla düğüm teorisinin temellerini atmıştır. Gauss’un önemli katkılarından biri, 1833’te geliştirdiği Gauss Bağlama Sayısı‘dır. Gauss, iki eğrinin bağlama sayısını integral ile hesaplar.
Gauss’un öğrencisi Johann Benedict Listing 1830’lu yıllarda düğüm teorisi üzerinde çalışmaları devam ettirir. Listing, düğümlerin kiralitesi, diğer bir deyişle bir düğümün ayna görüntüsüne eşdeğerliği ile ilgilenir. Bir düğümün aynadaki görüntüsü, düğümün tüm çaprazlamalarının karşıt çaprazlamayla değiştirilmesi ile elde edilir. Aynadaki görüntüsüne eşit olan düğüme amfikiral düğüm denir. 1847 yılında Listing, trefoil düğümünün amfikiral düğüm olmadığı sonucunu içeren bir makale yayımlar. Bu sonucun tam ispatı ise 1914 yılında Max Dehn tarafından verilene kadar tam bilinmez.
Şekil 3: Sağ trefoil düğümü ve onun ayna görüntüsü Sol trefoil düğümü.
Düğüm teorisi matematikçilerin yanı sıra fizikçiler tarafından da çalışılır. Fizikçi Thompson (daha sonra bilinen adıyla Lord Kelvin) (1858), atom teorisinde kullanmak amacı ile düğümleri kullanır. Thompson, “madde atomlardan oluşur” teorisi ile “madde dalgalardan oluşur” teorisini birleştiren yeni bir teori geliştirmeye çalışıyordu. Çalışmaları sonucunda Girdap Atom Teorisini ortaya attı. Bu teori, düğümleri ve bağlantıları incelemenin maddenin temel yapısını anlamada kritik olabileceğini ileri sürerek düğüm teorisine büyük bir ilgi uyandırmıştır. Thompson’ın teorisinin nihayetinde yanlış olduğu kanıtlansa da onun düğümler hakkındaki fikirleri, Peter Guthrie Tait gibi matematikçilerin düğümleri sistematik olarak incelemesine ve düğüm teorisinin temelini atmasına ilham vermiştir.
İskoç fizikçi ve matematikçi Tait, düğüm teorisinin erken gelişiminde kritik bir rol oynamıştır. Thompson’ın girdap atom teorisinden ilham alan Tait, teorinin ihityacı olan düğümleri sistematik olarak inceleyerek düğümlerin sınıflandırılması üzerine çalışmalar yaptı (1867). 19. yüzyılın sonlarında, düğümleri çaprazlama sayıları temel alarak sınıflandıran düğüm tabloları oluşturdu. Tait’in düğüm tabloları, günümüz modern düğüm teorisinin temellerini attı ve düğümlerin farklı türlerini ve özelliklerini anlamada önemli bir adım oldu. Tait ayrıca, düğümlerin özellikleri ve davranışları hakkında üç varsayım ileri sürdü. Bu varsayımlar, 1984 yılında Jones polinomunun tanımlanmasından sonra ispatlandı ve düğüm teorisinin gelişiminde önemli bir rol oynadı.
Düğüm teorisinin erken tarihi, antik uygarlıklarda pratik ve mistik amaçlarla başlayan ve sonunda matematiksel bir disiplinde yerini bulan ilginç kesişim noktaları ile doludur. Bu, düğümlerin karmaşık yapılarının ebedi ve evrensel doğasını vurgular.
Kaynaklar
Nash C., Topology & Physics – a historical essay. National University of Ireland, 1997.
Przytycki J., A History of Knot Theory from Vandermonde to Jones‘. Proc. Mexican Nat. Congress Math., Nov. 1991.
Tait P. G., On Knots I, II, and III. Scientific Papers, Vol. 1. Cambridge, England: University Press, pp. 273–347, 1898.
