Bir Eşitsizlik Üzerine

İ. Ferit Öktem

Bu yazımızda

\begin{equation}\label{1} P_n = \prod_{k=1}^n \Big( 1 – \frac{1}{2k}\Big) \hspace{2cm} (1)\end{equation}

çarpımının (Bkz. Matematik Dünyası C:1, S:1, A5)

\[\frac{1}{\sqrt{\pi(n + \frac{1}{2})}} < P_n < \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\hspace{2cm} (2)\]

eşitsizliğini sağladığını göstermek istiyoruz.

Önce

\[\prod_{k = 1}^n (2k -1) = (2n – 1)!!, \prod_{k=1}^n (2k) = (2n)!!\hspace{2cm} (3)\]

tanımlarını kullanarak

\[P_n = \frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!}\hspace{2cm} (4)\]

yazabiliriz. Şimdi, \(n\) negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere,

\[I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\, dx \hspace{2cm} (5)\]

integralini gözönüne alalım:

\[I_0 = \frac{\pi}{2},\,\, I_1 = 1,\,\, I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\,\,\,\, (n>1)\hspace{2cm} (6)\]

bağıntılarından $n\ge 1$ için

\[I_{2n – 1} = \frac{1}{2n}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}, \;\; I_{2n} = \frac{\pi}{2}\frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!},\]

\[I_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\hspace{2cm} (7)\]

olur. Öte yandan

\[ \sin^{2n +1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n -1}x \;\; (0 < x < \frac{\pi}{2}) \hspace{2cm} (8) \]

ve (5) ten dolayı

\[ I_{2n +1} < I_{2n}< I_{2n – 1} \hspace{2cm} (9)\]

eşitsizlikleri geçerlidir. Böylece (4), (7) ve (9) sonucu

\[ \frac{1}{(2n+1)P_n} < \frac{\pi}{2}P_n < \frac{1}{2nP_n}\hspace{2cm} (10) \]

bulunur. (10) un her yanını $\frac{2}{\pi}P_n$ ile çarptıktan sonra karekök alınırsa (2) eşitsizlikleri elde edilir.

Bu eşitsizliklerin bir sonucu olarak

\[ P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi(n+\theta_n)}},\;\; 0 < \theta_n < \frac{1}{2} \hspace{2cm} (11)\]

koşullarını sağlayan bir $\theta_n$ sayısının varlığı ve

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\hspace{2cm} (12)\]

bağıntısı (Wallis formülü) de ispatlanabilir.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 3. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar

Stirling Sayıları, Üreteç Fonksiyonlar ve Kupon Toplama Problemi

Yazar: Ümit Işlak (umitislak@gmail.com) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Model ve ana sorularımız Bu yazıda sizleri çocukluğuma götüreceğim. 1996 yılında Almanya'da düzenlenen Euro 1996 futbol turnuvası Türkiye açısından özel...

Sencer’in Hacimler için Aksiyom Sistemi

Yazar: Alp Eden (alp.eden5@gmail.com) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Kastamonu Lisesi'nden mezun olan Süleyman Sencer (29.01.1912 - 01.06.1947) 1932-1933 yılında Lüben'de dil öğrendikten sonra Berlin ve Leipzig üniversitelerinde...

Matematik Derslerindeki Öğretmen ve Öğrenci Beklentilerinin Sıradışı Sonuçları

Yazar: Abdulkadir Erdoğan (abdulkadirerdogan@anadolu.edu.tr) Yıl: 2022-2 Sayı: 112 Matematik eğitiminin bir disiplin olarak ortaya çıkışında ve gelişiminde matematik öğretme ve öğrenme sürecine özgü olgular yer almaktadır. Matematik...