İ. Ferit Öktem
Bu yazımızda
\begin{equation}\label{1} P_n = \prod_{k=1}^n \Big( 1 – \frac{1}{2k}\Big) \hspace{2cm} (1)\end{equation}
çarpımının (Bkz. Matematik Dünyası C:1, S:1, A5)
\[\frac{1}{\sqrt{\pi(n + \frac{1}{2})}} < P_n < \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\hspace{2cm} (2)\]
eşitsizliğini sağladığını göstermek istiyoruz.
Önce
\[\prod_{k = 1}^n (2k -1) = (2n – 1)!!, \prod_{k=1}^n (2k) = (2n)!!\hspace{2cm} (3)\]
tanımlarını kullanarak
\[P_n = \frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!}\hspace{2cm} (4)\]
yazabiliriz. Şimdi, \(n\) negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere,
\[I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\, dx \hspace{2cm} (5)\]
integralini gözönüne alalım:
\[I_0 = \frac{\pi}{2},\,\, I_1 = 1,\,\, I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\,\,\,\, (n>1)\hspace{2cm} (6)\]
bağıntılarından $n\ge 1$ için
\[I_{2n – 1} = \frac{1}{2n}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}, \;\; I_{2n} = \frac{\pi}{2}\frac{(2n – 1)!!}{(2n)!!},\]
\[I_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\hspace{2cm} (7)\]
olur. Öte yandan
\[ \sin^{2n +1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n -1}x \;\; (0 < x < \frac{\pi}{2}) \hspace{2cm} (8) \]
ve (5) ten dolayı
\[ I_{2n +1} < I_{2n}< I_{2n – 1} \hspace{2cm} (9)\]
eşitsizlikleri geçerlidir. Böylece (4), (7) ve (9) sonucu
\[ \frac{1}{(2n+1)P_n} < \frac{\pi}{2}P_n < \frac{1}{2nP_n}\hspace{2cm} (10) \]
bulunur. (10) un her yanını $\frac{2}{\pi}P_n$ ile çarptıktan sonra karekök alınırsa (2) eşitsizlikleri elde edilir.
Bu eşitsizliklerin bir sonucu olarak
\[ P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi(n+\theta_n)}},\;\; 0 < \theta_n < \frac{1}{2} \hspace{2cm} (11)\]
koşullarını sağlayan bir $\theta_n$ sayısının varlığı ve
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} P_n = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\hspace{2cm} (12)\]
bağıntısı (Wallis formülü) de ispatlanabilir.
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 3. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
