Matematikte Benzetme

Yazar: Tuğrul Taner

Yıl: 1991-5

Sayı: 5

İsviçreli bir matematikçi olan Jaques Bernoulli (1654 – 1705) toplamı bilinmeyen pek çok serinin toplamını ilk kez hesaplayabilmiş ancak

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + … + \frac{1}{n^2}+ …$

serisinin toplamını bulmak için harcadığı bütün çabaların boşa gittiğini, eğer birisi bu toplamı hesaplayabilirse kendisine yazmasını istemiştir.

Bernouilli ile aynı kasabada doğmuş olam L. Euler (1707-1783) bir benzetmeden yararlanarak toplamın tam değerini hesaplamıştır. Burada Euler’in hatalı da olabilecek bu cesur benzetme tekniğini inceleyeceğiz.

Baş katsayısı $a_n$ olan

$a_0 + a_1 + … + a_nx^n$

polinomunun $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ köklerinin her biri $0$’dan farklı olsun.

$a_0 + a_1x + … + a_nx^n =a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)…(x-\alpha_n)$

eşitliği geçerlidir. $x = \frac{1}{y}$ yazarak

$a_0 + a_1x+…+a_nx^n = \frac{1}{y^n}(a_n + a_n -1y + … + a_0y^n)$

eşitliği elde ederiz. Bu eşitliğin ikinci yanında bulunan parantez içindeki ifade

$a_0 (y – \frac{1}{\alpha_1})(y- \frac{1}{\alpha_2})…(y-\frac{1}{\alpha_n})$

çarpımına eşit olacağından

$a_0 + a_1x+…+a_nx^n = a_0 (1 – \frac{x}{\alpha_1})(1 – \frac{x}{\alpha_2})…(1-\frac{x}{a_n}) \qquad \qquad \qquad (2)$

eşitliği de geçerlidir. Bu eşitlikte $x$’in katsayılarını eşitleyerek

$ a_1 = -a_0(\frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_2} + … + \frac{1}{\alpha_n}) \qquad \qquad \qquad (3)$

bulunur.

Bu sonuçları sıfırdan farklı kökleri $\beta_1, -\beta_1, \beta_2, -\beta_2, …, \beta_n, -\beta_n$ olan

$b_0 – b_1x^2 + b_2x^4 – … + (-1)^nb_nx^(2n) \qquad \qquad \qquad (4)$

polinomuna uygulamak için önce $(2)$’den

$b_0 – b_1x^2 + b_2x^4 – … + (-1)^nb_nx^{2n} = b_0 (1- \frac{x^2}{\beta_1^2})(1- \frac{x^2}{\beta_2^2})…(1- \frac{x^2}{\beta_n^2}) \qquad \qquad \qquad (5)$

yazıp iki yanda $x^2$’nin katsayılarını eşitleyerek $(3)$’teki gibi

$ b_1 = -b_0(\frac{1}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_2} + … + \frac{1}{\beta_n}) \qquad \qquad \qquad (6)$

bulunur. Euler,

$\frac{\sin{x}}{x} = 1 – \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + … + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}+ …$

sonsuz toplamını $(4)$ polinomuna benzeterek ve $\frac{\sin{x}}{x}$’in köklerinin

$\pi, -\pi, 2\pi, -2\pi, 3\pi, -3\pi, …$

olduğunu göz önüne alarak $(6)$’dan benzetme yoluyla

$-\frac{1}{3!} = -( \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{(2\pi)^2} + … + \frac{1}{(n\pi)^2}+… \qquad \qquad \qquad (7)$

ve buradan da

$\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + … + \frac{1}{n^2} + … \qquad \qquad \qquad (8)$

olmasını ummuştur.

Euler başka yollardan sağdaki toplamı ondalık ilk 6 basamağa kadar doğru olarak hesaplamış ve bunun $\frac{\pi^2}{6}$ ile ondalık ilk 6 basamağa kadar aynı olduğunu saptamıştır. Ancak bu bir kanıt değil, kanıtlamak için uğraşmaya değer bir ifadenin elde edilişidir. Euler aynı tekniği kullanarak toplamı bilinen başka serilerin toplamını doğru olarak elde etmiştir. Doğal olarak bunlar da kanıt değildir. En sonunda başka bir yoldan $(8)$ eşitliğinin doğru olduğunu kanıtlamıştır.

Kaynak: Thomas Tymoczko, New Directions in the Philosophy of Mathematics, Birkhäuser 1986, s. 108-110.

ÇÖZMECE

Abecetik olarak adlandırabileceğimiz bu tür harfler yerine eşitliği sağlayacak biçimde rakamlar bulunması istenmektedir. (. çarpmayı göstermektedir.)
a) M.K.(ATA+TÜRK) = (10+11).1938
B) M. K. (ATA+TÜRK) = 10.11.1938

(Hazırlayan H. Demir)

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 5. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Zeynep Begüm Kara‘ya ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.

- Son sayıyı sipariş vermek için tıklayın. -Newspaper WordPress Theme

Son eklenen yazılar

Şirince Akşam Sofrası III : Dikdörtgenlere Parçalanmış Dikdörtgen

Yazar: Ali Nesin (anesin@nesinvakfi.org) Yıl: 2022-3 Sayı: 113 Soru. Bir dikdörtgen, şekildeki gibi sonlu sayıda küçük dikdörtgene parçalanıyor. Küçük dikdörtgenlerin her birinin her iki kenarından en az biri...

Olasılık öğretiminde farklı bir yaklaşım: İnanç ve frekans bakış açıları

Yazar: Sibel Kazak Yıl: 2022-3 Sayı:113 Olasılık kuramı, belirsizlik durumlarında öngörüde bulunmamıza ve rastlantısallıkları değerlendirirken akılcı düşünmemize yardımcı olur . Çeşitli bilim alanlarından günlük yaşantımıza belirsizliğin ve...

Sayı Saymalı Kombinatorik

Yazar: Kağan Kurşungöz Yıl: 2022-3 Sayı: 113 En genel anlamda kombinatorik sonlu yapılar üzerinde çalışır. Doğal sayılar, tamsayılar veya kesirler ilgi alanına girdiğindeyse, bir parametreye bağlı olarak...