California Matematik Ligi Sınavları

Yazar: Şafak Alpay (ODTÜ Matematik Bölümü öğretim üyesi)
Yıl: 1994-4

A.B.D.’nin California eyaletinde orta öğretim öğrencileri arasında yapılan matematik liginin beş sınavını size aktarıyoruz. Her sınav 20 dakikadır.

Yarışma 1

1. $\sqrt{n}, \sqrt{n+1}$ ve $\sqrt{n+2}$ sayılarının bir dik üçgenin kenarlarının uzunlukları olması için $n$ tamsayısı ne olmalıdır?
2. Kenarları $10 \mathrm{~cm}$ olan bir eşkenar üçgeni örtmek için kenarı $1 \mathrm{~cm}$ olan kaç tane eşkenar üçgen gerekir?
3. $\sqrt{1992}=1992 \sqrt{x}$ eşitliğini sağlayan $x$ gerçel sayısı nedir?
4. Ali 0 ile 3 arasında 1’den farklı 100 pozitif sayı, Alev de Ali’nin yazdığı sayıların terslerini yazsın. Bu 200 sayının kaç tanesi 0 ile 1 arasındadır?
5. İki takım arasındaki kupa maçlarında dört maç kazanan bir üst tura geçer ve maçların berabere bitmesine izin verilmez ise, dört maç sonrasında takımların üst tura geçme olasılıkları nedir?

Yarışma 2

1. 9 sayısı birbirini izleyen 9 tane tamsayının toplamı ise, bu sayıların çarpımları nedir?
2. $x^{2}-26 x+144$ polinomunun iki çarpanının toplamı, $x^{2}-25 x+144$ polinomunun iki çarpanının toplamından çıkarılırsa sonuç nedir?
3. $2 x-\frac{1}{x}+1 \leq 1$ eşitsizliğini çözünüz.
4. $x=-664$ ise $\Big|\big||x|-x\big|-x\Big|$ ifadesi kaçtır?
5. $(0,0)$ noktasının $y=\sqrt{6 x-x^{2}-9}$ eğrisine uzaklığı nedir?

Yarışma 3

1. $\sqrt{n^{2}-1}$ ifadesinin tamsayı olduğu $n$ tamsayısı nedir?
2. $x\left(x^{2}-1993\right)=x\left(x^{2}-x\right)$ eşitliğini sağlayan kümeyi bulunuz.
3. Bir paralelkenarın köşegenleri $10$ ve $24 \mathrm{~cm}$ ve bir kenarı $13 \mathrm{~cm}$ ise, çevresi nedir?
4. Bir $7 \times 7$ sihirli kare, 1 ile 49 arasındaki sayılardan oluşuyor. Anımsanacağı gibi bir sihirli karede, sıra, sütün ve köşegenlerdeki sayıların toplamı aynıdır [1]. Bu sihirli toplamı bulunuz.
5. 100 sayısından küçük 25 tane asal sayı vardır. 100’den farklı kaç tane $n$ tamsayısı için $n$’den küçük asal sayıların sayısı 25’tir?
6. $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ çiftleri arasında $x$’in alabileceği en büyük değer kaçtır?

Yarışma 4

1. $2^{x-3}=1$ ve $5^{y+2}=1$ ise $2^{x} 5^{y}$ kaçtır?
2. Birbirini izleyen 1993 tamsayının çarpımları 0 olsun. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?
3. $N$ pozitif bir tamsayı ve $N^{50}$ 16 basamaklı ise $N$ kaçtır?
4. $y=|x+2|+|x-3|$, $x=-2$, $y=0$ ve $x=3$ ile belirlenen bölgenin alanı nedir?
5. $12 \mathrm{~cm}$ yarıçaplı daire dışına çizilen ve hipotenüsü 65 olan dik üçgenin çevresi nedir?

Yarışma 5

1. $A=1990 \cdot 1991 \cdot 1992 \cdot 1993 \cdot 1994 \cdot 1995\cdot 1996$ ve $B=1993^{7}$ ise, hangisi daha büyüktür?
2. $x$, $y$ ve $z$ eşit olmayan pozitif tamsayılar ise, $x+y^{2}+z^{3}=a$ eşitliğini sağlayan en küçük $a$ nedir?
3. $\log_{2} x+1=2 \log_{2} x-1$ eşitliğini çözünüz.
4. $23 !=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 21 \cdot 22 \cdot 23$ olarak tanımlanır. $23!$ sayısının birbirini izleyen sayıların çarpımı olarak üç farklı biçimde yazılabileceğini gösteriniz.
5. $\frac{\sqrt{21\,+\,x}\,+\,\sqrt{21\,-\,x}}{\sqrt{21\,+\,x}\,-\,\sqrt{21\,-\,x}}=\frac{21}{x}$ için çözüm kümesini bulunuz.
6. Üçgenlerde açıortaylar karşı kenarı diğer kenarlara orantılı olarak keserler. Çevresinin bir tamsayı olduğu bir üçgende bir açıortay karşı kenarı $2 \mathrm{~cm}$ ve $5 \mathrm{~cm}$ olarak bölüyorsa, çevrenin alabileceği en büyük değer kaçtır?

KAYNAKÇA

[1] A. Doğanaksoy, Sihirli Kareler, Matematik Dünyası, 1, sayı 2, 6-9, 1991.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1994 yılı ?. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Zeynep K‘ye ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.